Autor Tema: Numeración

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03 Febrero, 2020, 02:36 am
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Francois

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Buenas con todos.
Esta pregunta no consigo ver como utilizar la parte del dato.

Pregunta
Si \( 11(a+b+c+4)^2=\overline{abc4}_{(n)} \) y \( \overline{mnpq}_{(b+c)}=\overline{abc}_{(b+c)}+\overline{cba}_{(b+c)}+\overline{bac}_{(b+c)} \).
Hallar el valor de \( m+n+p+q \)


Por un lado intento utilizar el hecho que cada cifra es menor que la base del numeral y luego llego a
\( \overline{abc4}_{(n)}<176n^2 \) pero  ahí quedo.

También pensé en usar divisibilidad y llego a que \( m(11)=m(n)+4 \), donde \( m(11) \) estoy representando
como múltiplos de 11. Como que podría decir que \( n=7 \) pero igual creo es muy forzado.


Muchas gracias por la ayuda.

Saludos.
Saludos.

03 Febrero, 2020, 12:51 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas con todos.
Esta pregunta no consigo ver como utilizar la parte del dato.

Pregunta
Si \( 11(a+b+c+4)^2=\overline{abc4}_{(n)} \) y \( \overline{mnpq}_{(b+c)}=\overline{abc}_{(b+c)}+\overline{cba}_{(b+c)}+\overline{bac}_{(b+c)} \).
Hallar el valor de \( m+n+p+q \)

Revisa el enunciado. No existen valores de \( a,b,c,n \) que cumplan ambas relaciones. Lo he comprobado exhaustivamente por ordenador.

Una observación:

\( N=\overline{abc}_{(b+c)}+\overline{cba}_{(b+c)}+\overline{bac}_{(b+c)}=(a+b+c)(b+c)^2+\overline{bc}_{(b+c)}+\overline{ba}_{(b+c)}+\overline{ac}_{(b+c)}=\\=(b+c)^3+a(b+c)^2+\overline{bc}_{(b+c)}+\overline{ba}_{(b+c)}+\overline{ac}_{(b+c)} \)

 De donde:

\( (b+c)^3+a(b+c)^2<N<(b+c)^3+(a+3)(b+c)^2 \)

 Pero entonces la cifra \( n\geq 5 \) de:

\( \overline{m\color{red}n\color{black}pq}_{(b+c)}=\overline{abc}_{(b+c)}+\overline{cba}_{(b+c)}+\overline{bac}_{(b+c)} \)

 Tiene que ser \( a,a+1 o a+2 \). Pero por la primera expresión \( a<n \). Luego la única posibilidad es \( a=n-1  \) ó \( a=n-2 \).

Saludos.