Autor Tema: Divisibilidad

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30 Enero, 2020, 07:04 am
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YeffGC

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Este problema me tiene metido de cabeza no puedo hacerle entrada
Cuantos numeros de tres cifras hay que sean divisibles por al menos una de su cifra 
Llevo una semana  :banghead: y nada

30 Enero, 2020, 11:09 am
Respuesta #1

feriva

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Este problema me tiene metido de cabeza no puedo hacerle entrada
Cuantos numeros de tres cifras hay que sean divisibles por al menos una de su cifra 
Llevo una semana  :banghead: y nada

Hola.

\( 100a+10b+c\Rightarrow
  \)

\( a|(10b+c)
  \) y/o \( b|(100a+c)
  \) y/o \( c|(10(10a+b))
  \).

De ahí van a salir congruencias para cada caso

\( 10b\equiv-c\,(mod\, a)
  \), etc.

Y, supongo, se podrá hacer usando el teorema chino del resto, siendo a,b,c las cifras; y después contando los casos; pero no he pensado más ahora.

Saludos.

30 Enero, 2020, 11:52 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Este problema me tiene metido de cabeza no puedo hacerle entrada
Cuantos numeros de tres cifras hay que sean divisibles por al menos una de su cifra 
Llevo una semana  :banghead: y nada

Son \( 640 \). Pero no se me ocurre una forma de calcularlo que no sea muy prolija.

Ir contando primero los que tienen algún \( 1 \): todos serían divisibles por alguna de sus cifras. Son \( 900-8\cdot 9\cdot 9 \) (todos menos los que no tienen unos).

Luego los pares que tienen algún dos y ya no tienen unos. Los acabados en \( 0,4,6,8 \) son \( 4\cdot (9+7)=64 \) y los acabados en \( 2 \), son \( 8\cdot 9=72 \). En total 136.

Y así sucesivamente. Pero la cosa se hace cada vez más pesada y enumerativa "a mano".

¿En qué contexto te ha surgido este problema?.

Saludos.

30 Enero, 2020, 03:29 pm
Respuesta #3

YeffGC

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¿En qué contexto te ha surgido este problema?.
Pues la verdad este es el completo
Determinar la cantidad de números de tres cifras que cumplen las dos condiciones siguientes.
 a. Cada una de sus cifras es un primo.
 b. El número es divisible por alguna de sus cifras.
No se si son dos condiciones distintas

30 Enero, 2020, 03:47 pm
Respuesta #4

YeffGC

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Pues la primera parte la hice asi
Con los 4 primos que hay entre 0 y 9 por principio de multiplicacion.
\( 4\times{4}\times{4}=64 \)
Hay hay numeros como \( 222,333,555,777 \)

30 Enero, 2020, 07:02 pm
Respuesta #5

feriva

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Pues la verdad este es el completo
Determinar la cantidad de números de tres cifras que cumplen las dos condiciones siguientes.
 a. Cada una de sus cifras es un primo.
 b. El número es divisible por alguna de sus cifras.
No se si son dos condiciones distintas


Si las condiciones son para el mismo problema, cambia mucho. Si cada una de sus cifras es un primo, sólo pueden estar formados por los dígitos 2,3,5,7 y, por tanto, sólo se considera la divisibilidad respecto de esas cifras; no es lo mismo de la otra manera, que pueden estar formados por el factor 8 (y hay que considerarse la divisibilidad entre 8) o 9...
Algo que podrías hacer es contar en principio todos los múltiplos que hay de cada uno y luego quitar los que no pueden ser (y no pueden ser los que tengan cifras distintas de 2,3,5,7, para empezar).
Después quitas todos los números que tienen un 1 ó un 4... Y, después, los que teniendo las cifras 2,3,5,7 no sean divisibles entre ninguna de ellas; de momento, todos los primos de tres cifras desde 100  hasta 777. Luego, habrá otros que puedan ser divisibles entre alguno de éstos 11,13,17,19,23 pero no por los más pequeños; y no habrá múltiplos de primos más grandes, porque 23 al cuadrado ya empieza por 8; con lo que lo habrás cribado ya un paso anterior.
Para comenzar a hacerlo de esta forma, de tres cifras hay, desde 100 hasta 999, una cantidad de 899 números. Si divides 899 entre 2 y tomas la parte entera, ésa es la cantidad de pares; lo mismo si divides entre 3 o cualquiera de los otros primos y tomas la parte entera, ésa es la cantidad.
...
No sé, es conteo, así o de otra manera porque son pocas cifras y así es un lío. Es mejor considerar el 2 fijo (en cada una de sus posiciones) y luego el resto de posibilidades; después con el 3...

Saludos.

30 Enero, 2020, 07:40 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Pues la verdad este es el completo
Determinar la cantidad de números de tres cifras que cumplen las dos condiciones siguientes.
 a. Cada una de sus cifras es un primo.
 b. El número es divisible por alguna de sus cifras.
No se si son dos condiciones distintas

¡Ah! Son las dos condiciones a la vez y entonces la cosa es mucho mas sencilla, porque sólo se pueden usar las cifras \( 2,3,5,7 \).

Los divisibles por \( 2 \) son exactamente los acabados en \( 2 \); las otras dos cifras pueden ser cualquiera de las \( 4 \): \( 4\cdot 4=16 \) opciones.

Los divisibles por \( 5 \) son exactamente los acabados en \( 5 \); las otras dos cifras pueden ser cualquiera de las \( 4 \): \( 4\cdot 4=16 \) opciones.

Los divisibles por \( 3 \) que no acaban ni en \( 2 \) ni en \( 5 \) (esos ya los contamos) y llevan algún \( 3 \) son:

- Los acabados en \( 3 \) cuyas otras dos cifras suman múltiplo de \( 3 \) (\( 2+7 \) ó \( 5+7 \) ó \( 3+3 \)) hay \( 5 \) opciones.

- Los acabados en \( 7 \) y una de sus otras cifras es un \( 3. \) Para que sea múltiplo de \( 3 \), la suma de las tres cifras debe de ser múltiplo de \( 3 \) luego la única opción es que sea \( 2 \) ó \( 5 \). Por tanto hay \( 4 \) opciones (237,537,327,357).

Los divisibles por \( 7 \) que acaban en \( 3 \) o \( 7 \) y tienen algún \( 7 \) y no son divisibles por \( 3 \) o no tienen un \( 3 \):

- Si acaban en \( 7 \) las posibilidades son (números desde \( 21 \) hasta \( 131 \) acabados en \( 1 \) multiplicados por 7) \( 147, 217, 287, 357, 427, 497, 567, 637, 707, 777, 847, 917 \) y sólo vale el \( 777 \).

- Si acaban en \( 3 \) las posibilidades son (números desde \( 19 \) hasta \( 139 \) acabados en \( 9 \) multiplicados por 7)\( 133, 203, 273, 343, 413, 483, 553, 623, 693, 763, 833, 903, 973 \) y no vale ninguno.

En total: \( 16+16+5+4+1=42 \).

Saludos.

CORREGIDO

01 Febrero, 2020, 02:17 am
Respuesta #7

YeffGC

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Solamente no entiendo los divisible por 7

01 Febrero, 2020, 11:51 am
Respuesta #8

feriva

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Solamente no entiendo los divisible por 7


Si acaba en 7, quiere decir que, para ser divisible entre 7, las otras dos cifras forman un múltiplo de 10 y de 7, como, por ejemplo, 140, 210, 280... porque en el cero se ponen las unidades, que es el 7; y miras y llegan hasta 917.

Por otra parte tienes, más en general, que 10 módulo 7 da resto 3 y que 100 módulo 7 da resto 2.

Entonces, un número “n” de tres cifras (n=abc) expresado según sus restos potenciales módulo siete será

\( a(100)+b(10)+c=
  \)

\( a(7k_{1}+2)+b(7k_{2}+3)+c
  \)

donde consideramos que la suma \( 2a+3b+c

  \) ha de ser múltiplo de 7 (los otros sumandos ya lo son).

A partir de ahí puede ayudarte a sopesar condiciones (que acabe en 3 ó en 7, etc).

Saludos.

01 Febrero, 2020, 08:38 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Solamente no entiendo los divisible por 7

Había un error en mi último mensaje. Ahora lo detallo. También lo corregí allí.

Sin complicarme mucho sólo he usado lo siguiente. Si un número de tres cifras acaba en \( 7 \) y es múltiplo de \( 7 \) necesariamente se obtiene como múltiplo de un número acabado en \( 1 \), es decir, es de la forma \( 7(10k+1) \). Para que sea de tres cifras \( 2\leq k\leq 14 \). Se obtiene los números:

\( 147,217,287,357,427,497,567,637,707,777,847,917 \)

 Pero nos tenemos que quedar los que sólo usan las cifras \( 2,3,5,7 \), que son \( 357,777 \); pero el \( 357 \) no vale porque es múltiplo de \( 3 \) y tiene un \( 3 \) con lo cuál ya lo hemos contado. Nos quedamos con el \( 777 \).

 Por otra parte si un número de tres cifras acaba en \( 3 \) y es múltiplo de \( 7 \) necesariamente se obtiene como múltiplo de un número acabado en \( 9 \), es decir, es de la forma \( 7(10k+9) \). Para que sea de tres cifras \( 1\leq k\leq 13 \). Se obtiene los números:

\( 133,203,273,343,413,483,553,623,693,763,833,903,973 \)

  De nuevo nos tenemos que quedar los que sólo usan las cifras \( 2,3,5,7 \) y aparece algún \( 7 \), que es \( 273 \). Pero el \( 273 \) es múltiplo de \( 3 \) y tiene un \( 3 \) y ya está contado.

Saludos.