Autor Tema: Ilustración de un Lugar geométrico.

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28 Enero, 2020, 02:06 pm
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Billy_Google

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Hola.
No comprendo muy bien cómo poner gráficamente el siguiente enunciado.
Lugar geométrico de la intersección de un diámetro variable de la elipse con la perpendicular desde un punto fijo al diámetro conjugado de dicha elipse.

No tengo un dibujo que lo ilustre y como primera indicación, se pone que \( m\cdot{m'}=-\displaystyle\frac{b^2}{a^2} \).
Ni entiendo de dónde se deduce esa relación ni la situación gráfica concreta.

La cuestión es llegar a la solución dada: \( \displaystyle\frac{a^2\cdot{(x-x_0)}}{x}=\frac{b^2\cdot{(y-y_0)}}{y} \)
Misión imposible sin plantear la idea gráfica.

28 Enero, 2020, 04:38 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Este es el gráfico. Moviendo \( B \) cambias el diámetro. En rojo el lugar geométrico que es descrito por el punto \( D \).

 También puedes variar el punto fijo \( C \).


Saludos.

06 Febrero, 2020, 12:58 am
Respuesta #2

Billy_Google

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Muy agradecido por el gráfico, Luis.
Queda clara la situación pero tras algunos intentos infructuosos, no he conseguido llegar a deducir la ecuación del lugar, ni saber por qué el texto relaciona las pendientes con ese cociente de los coeficientes "a" y "b".

Gracias por todo.
Un saludo.

06 Febrero, 2020, 01:15 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muy agradecido por el gráfico, Luis.
Queda clara la situación pero tras algunos intentos infructuosos, no he conseguido llegar a deducir la ecuación del lugar, ni saber por qué el texto relaciona las pendientes con ese cociente de los coeficientes "a" y "b".

Dado un diámetro que une el centro de la elipse con un punto \( B \) su diámetro conjugado por definición es paralelo a la tangente en \( B \).

Si la elipse tiene por ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0 \)

La recta tangente en un punto \( P=(p,q) \) es:

\( \dfrac{p}{a^2}x+\dfrac{q}{b^2}y-1=0 \)

Su pendiente es: \( m=\dfrac{-p/a^2}{q/b^2}. \)

Por otro lado la pendiente del diámetro que une el centro (el origen) y \( B=(p,q) \) es:

\( m'=\dfrac{q}{p} \)

Entonces:

\( mm'=\dfrac{-p/a^2}{q/b^2}\cdot \dfrac{q}{p}=-\dfrac{b^2}{a^2} \)

¿Sabes continuar?.

Saludos.