Autor Tema: Vector aleatorio

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26 Enero, 2020, 02:23 pm
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moraat

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Sea (X,Y) un vector aleatorio que forma un rectángulo de base y altura como máximo 2.
¿Cuál es la probabilidad de que el área de este sea menor estricto que 1?

¿Debería considerar un cambio de variable, Z=XY donde X e Y son variables aletorias con distribución uniforme en (0,2) ?
Gracias de antemano
Saludos.

26 Enero, 2020, 02:44 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Sea (X,Y) un vector aleatorio que forma un rectángulo de base y altura como máximo 2. ¿Cual es la probabilidad de que el área de este sea menor estricto que 1? saludos.
Debería considerar un cambio de variable , Z=XY? donde X e Y son variables aletorias con distribución uniforme en (0,2). gracias de antemano


El problema está expresado de manera extraña pero se entiende lo que quiere decir: que \( X,Y\sim \mathcal{U}([0,2]) \), y que son independientes una de otra. Ahora te preguntan entonces por \( \Pr[XY<1] \). Hay diferentes formas de hacerlo, yo siempre tiendo a lo mismo: definir \( Z:=(X,Y) \). Como \( X \) e \( Y \) son independientes entonces la función de distribución de \( Z \) es el producto de las distribuciones de \( X \) e \( Y \), es decir que \( F_Z=F_X\cdot F_Y \).

Ahora podemos expresar la probabilidad anterior como

\( \displaystyle{
\Pr[XY<1]:=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\cdot Y(\omega )<1\})=\Pr(\{\omega \in \Omega :Z(\omega )=(x,y)\,\land\, xy<1\,\land\, (x,y)\in \Bbb R ^2\})\\
=\Pr(Z^{-1}(\{(x,y)\in \Bbb R ^2:xy<1\}))=\mu_Z(\{(x,y)\in \Bbb R ^2:xy<1\})=\int _{\{(x,y)\in \Bbb R ^2:xy<1\}}\,\mathrm d F_Z(x,y)
} \)

En este caso sabemos que \( Z \) tiene función de densidad, y es fácil demostrar que cuando \( X \) e \( Y \) son independientes la función de densidad de \( Z \) es el producto de las funciones de densidad de \( X \) e \( Y \), es decir que \( f_Z=f_X\cdot f_Y \), por tanto de lo de arriba nos queda que

\( \displaystyle{
\Pr[XY<1]=\int _{\{(x,y)\in \Bbb R ^2:xy<1\}}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm d (x,y)
} \)

Ahora sólo te queda simplificar esa integral utilizando las funciones de densidad de las variables aleatorias y reescribir la integral como una integral doble que represente la región de integración \( \{(x,y)\in \Bbb R ^2:xy<1\} \).



Otra manera menos formal de verlo es observar que si \( Z:=(X,Y) \) es una variable aleatoria con distribución uniforme en el cuadrado \( [0,2]^2\subset \Bbb R ^2 \) entonces la probabilidad \( \Pr[XY<1] \) es el área del conjunto \( \{(x,y)\in[0,2]^2: xy<1\} \) dividido por el área total del conjunto soporte (es decir de \( [0,2]^2 \), que es cuatro).

26 Enero, 2020, 07:04 pm
Respuesta #2

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Si, yo lo veo que los vectores pueden alcanzar valores ubicados en área debajo de la hipérbola\(  y=1/x \) que esta incluida en un cuadrado de lado 2 llamémosle \( A_h \) dividida el área total del cuadrado.




\( P=\dfrac{A_h}{A_c}=\displaystyle \dfrac{\int_0^{0.5}2 dx+ \int_{0.5}^2\dfrac 1x dx}{\int_0^2 2 dx}=\dfrac{1+ln(2)-ln(0.5)}{4}=\dfrac{2.38}{4}=0.596 \)

Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)