Autor Tema: 4 Planos y un sistema de ecuaciones

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26 Enero, 2020, 03:57 am
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nktclau

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Buenas noches AMIGOS!! tengo una duda

Resulta que me dan 4 planos \( \pi_1 \),  \( \pi_2 \),  \( \pi_3 \) y  \( \pi_4 \), entonces me pide que busque cual es el valor de \( a \in{\mathbb{R}} \) para que el sistema sea compatible determinado, indeterminado o incompatible.

Entonces claro, armo la matriz y trabajo escalonando la misma. En el proceso no tengo ninguna duda.

Pero digamos si obtuviera escalonando la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{3}&{2}&{|}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}\\{0}&{0}&{0}&{|}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{|}&{0}\end{bmatrix} \)

Entonces yo pensaba que por ejemplo el plano 4 (si no cambie filas) es un plano que es combinación lineal de alguno de los anteriores, y entonces el mismo es paralelo o exactamente igual al plano del que es combinacion lineal.

Pero parece que no es asi

¿Me sacan la duda por favor?

GRACIAS


26 Enero, 2020, 05:27 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola


Entonces yo pensaba que por ejemplo el plano 4 (si no cambie filas) es un plano que es combinación lineal de alguno de los anteriores, y entonces el mismo es paralelo o exactamente igual al plano del que es combinacion lineal.

Pero parece que no es asi

¿Me sacan la duda por favor?

GRACIAS



Lo que podemos decir es que, de los vectores normales de los planos, tenemos dos (vectores) que son linealmente independientes, los otros dos son combinación lineal de los primeros.

Piensa por ejemplo en los vectores \( \overrightarrow{u}=(1,0,0),\qquad\overrightarrow{u}=(0,1,0) \) vectores linealmente independientes.  Estos vectores generan al plano xy o a un plano paralelo a este.
Un vector perpendicular al plano xy es (0,0,1), todos los (infinitos) vectores perpendiculares a este, son combinación lineal de u y v, y cada uno de esos vectores es normal a un plano distinto (en realidad hay infinitos planos paralelos para cada vector).

Espero te ayude

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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26 Enero, 2020, 09:01 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Pero digamos si obtuviera escalonando la matriz \( \begin{bmatrix}{1}&{3}&{2}&{|}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}\\{0}&{0}&{0}&{|}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{|}&{0}\end{bmatrix} \)

Entonces yo pensaba que por ejemplo el plano 4 (si no cambie filas) es un plano que es combinación lineal de alguno de los anteriores, y entonces el mismo es paralelo o exactamente igual al plano del que es combinacion lineal.

Lo que tienes es que el cuarto plano es combinación lineal de varios de los anteriores, no necesariamente de uno solo.

Saludos.

26 Enero, 2020, 10:34 am
Respuesta #3

sugata

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Mmmmm...
¿Eso tiene solución?
¿La tercera fila no es \( 0=1 \)?

26 Enero, 2020, 11:08 am
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

En efecto, el sistema no tiene solución, lo que significa que los planos no tienen ningún punto en común. Como las otras tres ecuaciones tienen rango dos, tres de los planos se cortan en una recta y el otro es paralelo a la misma.

Saludos.

26 Enero, 2020, 12:49 pm
Respuesta #5

sugata

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Hola.

En efecto, el sistema no tiene solución, lo que significa que los planos no tienen ningún punto en común. Como las otras tres ecuaciones tienen rango dos, tres de los planos se cortan en una recta y el otro es paralelo a la misma.

Saludos.

Por eso digo. Tenía que encontrar un a para CD, CI e I, este es el último caso.

26 Enero, 2020, 10:39 pm
Respuesta #6

nktclau

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Hola AMIGOS!! MILLON DE GRACIAS antes que nada a todos

Lo que podemos decir es que, de los vectores normales de los planos, tenemos dos (vectores) que son linealmente independientes, los otros dos son combinación lineal de los primeros.

Piensa por ejemplo en los vectores \( \overrightarrow{u}=(1,0,0),\qquad\overrightarrow{u}=(0,1,0) \) vectores linealmente independientes.  Estos vectores generan al plano xy o a un plano paralelo a este.
Un vector perpendicular al plano xy es (0,0,1), todos los (infinitos) vectores perpendiculares a este, son combinación lineal de u y v, y cada uno de esos vectores es normal a un plano distinto (en realidad hay infinitos planos paralelos para cada vector).

Espero te ayude

 :banghead: :banghead: me temo no lo puedo asociar con el ejercicio.  ??? :banghead: :banghead: GRACIAS ingramov

Lo que tienes es que el cuarto plano es combinación lineal de varios de los anteriores, no necesariamente de uno solo.

Perfecto esto aclara bastante! GRACIAS Luis Fuentes ;)

yo pensaba que era de uno de los anteriores

Hola.

En efecto, el sistema no tiene solución, lo que significa que los planos no tienen ningún punto en común. Como las otras tres ecuaciones tienen rango dos, tres de los planos se cortan en una recta y el otro es paralelo a la misma.

Saludos.

¿Ahora este 4 plano es paralelo a la recta interseccion de los 3 anteriores SIEMPRE ?

GRACIAS Martiniano


GRACIAS sugata
Por eso digo. Tenía que encontrar un a para CD, CI e I, este es el último caso.

Excato pero no es la duda, sólo lo puse en contexto.


Saludos

26 Enero, 2020, 11:36 pm
Respuesta #7

ingmarov

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Hola AMIGOS!! MILLON DE GRACIAS antes que nada a todos

...

 :banghead: :banghead: me temo no lo puedo asociar con el ejercicio.  ??? :banghead: :banghead: GRACIAS ingramov

...

Primero, es que yo nunca he leído la expresión "un plano es combinación lineal de otros planos", por eso preferí hablar usando sus vectores normales.


A ver un ejemplo, tenemos las ecuaciones de cuatro planos

(1)  x-y+z=2

(2)  x+2y+3z=5

(3)  3x+5z=3

(4)  -3x+3y-3z=4

Los dos primeros planos no son paralelos.
El tercer plano (su ecuación, sin la constante a la derecha del signo igual) resulta de sumar el primero multiplicado por dos más el segundo. Este es combinación lineal de los dos primeros.

El cuarto plano es paralelo con el primero, resulta de multiplicar el primero por -3. Por esto podríamos decir que el tercer plano también es combinación lineal del cuarto y el segundo plano (\( -\dfrac{2}{3}p_4+p_2 \)).


Cambiamos una de las ecuaciones
(1)  x-y+z=2

(2)  x+2y+3z=5

(3)  3x+5z=3

(4)  2x+y+4z=7

Aquí no tenemos planos paralelos.


Saludos


No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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27 Enero, 2020, 06:17 am
Respuesta #8

sugata

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Hola AMIGOS!! MILLON DE GRACIAS antes que nada a todos

Lo que podemos decir es que, de los vectores normales de los planos, tenemos dos (vectores) que son linealmente independientes, los otros dos son combinación lineal de los primeros.

Piensa por ejemplo en los vectores \( \overrightarrow{u}=(1,0,0),\qquad\overrightarrow{u}=(0,1,0) \) vectores linealmente independientes.  Estos vectores generan al plano xy o a un plano paralelo a este.
Un vector perpendicular al plano xy es (0,0,1), todos los (infinitos) vectores perpendiculares a este, son combinación lineal de u y v, y cada uno de esos vectores es normal a un plano distinto (en realidad hay infinitos planos paralelos para cada vector).

Espero te ayude

 :banghead: :banghead: me temo no lo puedo asociar con el ejercicio.  ??? :banghead: :banghead: GRACIAS ingramov

Lo que tienes es que el cuarto plano es combinación lineal de varios de los anteriores, no necesariamente de uno solo.

Perfecto esto aclara bastante! GRACIAS Luis Fuentes ;)

yo pensaba que era de uno de los anteriores

Hola.

En efecto, el sistema no tiene solución, lo que significa que los planos no tienen ningún punto en común. Como las otras tres ecuaciones tienen rango dos, tres de los planos se cortan en una recta y el otro es paralelo a la misma.

Saludos.

¿Ahora este 4 plano es paralelo a la recta interseccion de los 3 anteriores SIEMPRE ?

GRACIAS Martiniano


Saludos

Es que la tercera ecuación es \( 0=1 \), se que no preguntas esto, pero es importante.
¿Como puede la fila de ceros ser combinación lineal de las otras tres si una de ellas no cruza con ninguna?

27 Enero, 2020, 07:40 am
Respuesta #9

martiniano

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Hola.

Hola.

En efecto, el sistema no tiene solución, lo que significa que los planos no tienen ningún punto en común. Como las otras tres ecuaciones tienen rango dos, tres de los planos se cortan en una recta y el otro es paralelo a la misma.

Saludos.

¿Ahora este 4 plano es paralelo a la recta interseccion de los 3 anteriores SIEMPRE ?

Sí. Podrían pasar cosas más particulares, como que hubiese dos planos paralelos o coincidentes, pero sin dejar de cumplirse lo que decimos. Lo que para afinar más no basta con la reducción del sistema a forma escalonada, habría que ver el original.

Saludos.

27 Enero, 2020, 08:21 am
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

Perdón. Me desdigo. En realidad pueden pasar situaciones más generales, como que los planos sean secantes dos a dos en rectas paralelas.

Es decir, que la matriz de coeficientes tenga rango dos quiere decir que los cuatro vectores normales son coplanarios no todos ellos paralelos, y que el de la matriz ampliada no coincida, que el sistema es incompatible y los planos no comparten punto.

Un saludo.