Autor Tema: maximum value

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25 Enero, 2020, 02:07 pm
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jacks

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If \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \) and \( |f(x)|\leq 1 \) for \( x\in[-1,1] \). Then maximum value of \( |a|+|b|+|c|+|d| \) is

10 Julio, 2020, 02:54 am
Respuesta #1

kike0001

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Hello, an a way is:

How \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \), and \( |f(x)|\leq1
 \) for all \( x\in[-1,1] \) Then:


\( \left |{d}\right |=\left |{f(0)}\right |\leq{1} \)

\( \left |{b}\right |=\frac{1}{2}\left |{f(1)+f(-1)-2f(0)}\right |\leq\frac{1}{2}|f(1)|+\frac{1}{2}|f(-1)|+|f(0)|\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2 \)

\( \left |{a}\right |=\frac{2}{3}\left |{f(1)-f(-1)-2f(1/2)+2f(-1/2)}\right |\leq\frac{2}{3}|f(1)|+\frac{2}{3}|f(-1)|+\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|\leq\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4 \)

\( \left |{c}\right |=\frac{1}{6}\left |{8f(1/2)-8f(-1/2)-f(1)+f(-1)}\right |\leq\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|+\frac{1}{6}|f(1)|+\frac{1}{6}|f(-1)|\leq\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=3 \)

Therefore:

\( |a|+|b|+|c|+|d|\leq4+2+3+1=10 \)

PD: 10 is a upper bound, buth not is the maximun, see the aswers of Luis and Martiniano
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10 Julio, 2020, 02:32 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Hello, an a way is:

How \( f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \), and \( |f(x)|\leq1
 \) for all \( x\in[-1,1] \) Then:


\( \left |{d}\right |=\left |{f(0)}\right |\leq{1} \)

\( \left |{b}\right |=\frac{1}{2}\left |{f(1)+f(-1)-2f(0)}\right |\leq\frac{1}{2}|f(1)|+\frac{1}{2}|f(-1)|+|f(0)|\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2 \)

\( \left |{a}\right |=\frac{2}{3}\left |{f(1)-f(-1)-2f(1/2)+2f(-1/2)}\right |\leq\frac{2}{3}|f(1)|+\frac{2}{3}|f(-1)|+\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|\leq\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4 \)

\( \left |{c}\right |=\frac{1}{6}\left |{8f(1/2)-8f(-1/2)-f(1)+f(-1)}\right |\leq\frac{4}{3}|f(1/2)|+\frac{4}{3}|f(-1/2)|+\frac{1}{6}|f(1)|+\frac{1}{6}|f(-1)|\leq\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=3 \)

Therefore:

\( |a|+|b|+|c|+|d|\leq4+2+3+1=10 \)

Yo también le estoy dando vueltas a este problema. De hecho, tengo algo así pensado, pero lo que diría que se está haciendo ahí es encontrar una cota máxima de \( |a|+|b|+|c|+|d| \), no encontrar su valor máximo. Es decir, no creo que estés probando que exista un polinomio que, cumpliendo las condiciones del enunciado, tenga \( |a|+|b|+|c|+|d|=10 \).

Piensa que para que se cumpla la igualdad, con lo que tú has probado, debe ser \( |a|=4, |b|=2,|c|=3,|d|=1 \). No se pierde generalidad si se asume \( a>0 \). En ese caso, por un lado:

\( |f(1)-f(-1)|=2|a+c|\geq{2} \)

Y bajo las condiciones del enunciado debería alcanzarse la igualdad, lo que sólo es posible si \( a=4 \) y \( c=-3 \). Por otro lado:

\( |f(1)+f(-1)|=2|b+d|\geq{2} \)

Igualmente hay que alcanzar la igualdad y eso sólo es posible en dos situaciones:

A) \( b=2 \) y \( c=-1 \) con lo que \( f(1)=2 \)
B) \( b=-2 \) y \( c=1 \) con lo que \( f(-1)=-2 \)

En ninguna de las situaciones se cumplen todas las condiciones del enunciado.

Yo el polinomio que he hallado que tiene mayor \( |a|+|b|+|c|+|d| \) cumpliendo las condiciones del enunciado es \( 4x^3-3x \)

Un saludo.

10 Julio, 2020, 02:44 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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10 Julio, 2020, 03:07 pm
Respuesta #4

martiniano

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10 Julio, 2020, 05:26 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Una cosa, Luis, ¿tú tienes idea de dónde salen estos problemas? Es algo que me tiene muy intrigado.

Gracias. Un saludo.

10 Julio, 2020, 07:34 pm
Respuesta #6

kike0001

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Hola Martiniano, si en verdad 10 es una cota superior pero no es el máximo, quede en esa parte pero no pude concluir el problema, ya con el aporte de Luis queda solucionado, gracias Martiniano por la aclaración y a Luis que generalmente nos da sugerencias cuando nos encontramos atascados.

Hola.

Una cosa, Luis, ¿tú tienes idea de dónde salen estos problemas? Es algo que me tiene muy intrigado.

Gracias. Un saludo.
También me hago la misma pregunta, tal vez Jack nos comparta de donde son tomados los ejercicios que postea aquí en el foro, en general son problemas muy interesantes...
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11 Julio, 2020, 12:16 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Una cosa, Luis, ¿tú tienes idea de dónde salen estos problemas? Es algo que me tiene muy intrigado.

Si te refieres a los problemas que pone jacks, todos tienen pinta de ser tipo olimpiada o bien colecciones para preparar olimpiadas. Lo ideal sería que respondiese él a esa pregunta.

Saludos.

11 Julio, 2020, 02:06 am
Respuesta #8

martiniano

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Hola kike0001 y Luís Fuentes.

Es que a mí también me gustan mucho estos problemas, los que plantea jacks.  Muchos son realmente bellos. Alguna vez le he preguntado pero parece que no ha llegado a ver mi pregunta. Como me ha parecido que Luis ya conocía la respuesta a este ejercicio he pensado que quizás supiera algo. Cuando coincida con jacks por aquí le insistiré a ver qué nos dice.

Un saludo.

11 Julio, 2020, 02:44 am
Respuesta #9

manooooh

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Hola

(...) Cuando coincida con jacks por aquí le insistiré a ver qué nos dice.

Puedes usar la mensajería privada, ¡que para algo está! ;D. ¡Usadlo que necesita más actividad! Eso sí, supongo que deberías escribirle en inglés para que te entienda o en hindi (suponiendo que es indio).

Saludos

AGREGADO P.D. Dejo esto por aquí por si es de su interés... :)

https://www.imo-official.org/problems.aspx

https://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/indian.html

11 Julio, 2020, 10:16 am
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

Gracias manooooh por los enlaces.  ;)

Un saludo.

11 Julio, 2020, 10:22 pm
Respuesta #11

maguas

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Hola
Yo recuerdo a ver visto el problema  en un libro de preparacion para olimpiadas matematicas  no recuerdo el nombre del libro pero recuerdo que el autor  de dicho libro es el editor de la revista
Mathematical Excalibur 
Kin yin li creo que asi se escribe.

12 Julio, 2020, 10:19 am
Respuesta #12

martiniano

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Hola.

Yo recuerdo a ver visto el problema  en un libro de preparacion para olimpiadas matematicas  no recuerdo el nombre del libro pero recuerdo que el autor  de dicho libro es el editor de la revista
Mathematical Excalibur 
Kin yin li creo que asi se escribe.

Gracias. No conocía esa revista.

Un saludo.