Autor Tema: Ejercicio distancia espacio pseudométrico

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25 Enero, 2020, 01:59 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Sea \( (X,d) \) un espacio (pseudo)métrico y \( A\subseteq X \).

a) Si \( d(x,A)=\inf \{d(x,y); y\in A\} \), probar que \( |d(x,A)-d(y,A)|<d(x,y) \). Como consecuencia probar que si \( x_n\to x \), entonces \(  d(x_n,A)\to d(x,A) \).

Teniendo probada\( ^\dagger \) \( |d(x,A)-d(y,A)|<d(x,y) \), puede observarse:
\begin{align*}
x_n\to x\Longrightarrow d(x,x_n)\to 0\\
0<|d(x,A)-d(x_n,A)|<d(x,x_n)\to 0 \Longrightarrow d(x_n,A)\to d(x,A)
\end{align*}

b) Probar que \( f(X,d)\to (\mathbb{R},d_e) \) dada por \( f(x)=d(x,A) \) es continua.

\begin{align*}
& \forall x_n\to x \Longrightarrow d(x_n,A)\to d(x,A)\\
& \forall x_n\to x \Longrightarrow f(x_n)\to f(x)
\end{align*}

La imagen por \( f \) de toda sucesión convergente es convergente, entonces \( f \) es continua(?)

c) Probar que \( x\in \overline{A} \) si y sólo si \( d(x,A)=0 \)

Intuitivamente se vé que así es. ¿Pero para demostrarlo?

d) Probar que \( A \) es cerrado si y sólo si \( d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in A \).

\( A \) es cerrado \( \Longrightarrow A=\overline{A}\Longrightarrow (x\in A \Leftrightarrow x\in \overline{A}\overset{\small c)}{\Leftrightarrow} d(x,A)=0) \)

\( (x\in A\Leftrightarrow d(x,A)=0\overset{\small c)}{\Leftrightarrow} x\in \overline{A})\Longrightarrow A=\overline{A}\Longrightarrow \) \( A \) es cerrado.

_____________________________________________________________________________________________________
\( ^\dagger \): He intentado por reducción al absurdo y usando la propiedad triangular de la distancia, pero no se llega a contradicción.

25 Enero, 2020, 04:55 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Sea \( (X,d) \) un espacio (pseudo)métrico y \( A\subseteq X \).

a) Si \( d(x,A)=\inf \{d(x,y); y\in A\} \), probar que \( |d(x,A)-d(y,A)|<d(x,y) \). Como consecuencia probar que si \( x_n\to x \), entonces \(  d(x_n,A)\to d(x,A) \).

Teniendo probada\( ^\dagger \) \( |d(x,A)-d(y,A)|<d(x,y) \), puede observarse:
\begin{align*}
x_n\to x\Longrightarrow d(x,x_n)\to 0\\
0<|d(x,A)-d(x_n,A)|<d(x,x_n)\to 0 \Longrightarrow d(x_n,A)\to d(x,A)
\end{align*}

b) Probar que \( f(X,d)\to (\mathbb{R},d_e) \) dada por \( f(x)=d(x,A) \) es continua.

\begin{align*}
& \forall x_n\to x \Longrightarrow d(x_n,A)\to d(x,A)\\
& \forall x_n\to x \Longrightarrow f(x_n)\to f(x)
\end{align*}

La imagen por \( f \) de toda sucesión convergente es convergente, entonces \( f \) es continua(?)

c) Probar que \( x\in \overline{A} \) si y sólo si \( d(x,A)=0 \)

Intuitivamente se vé que así es. ¿Pero para demostrarlo?

d) Probar que \( A \) es cerrado si y sólo si \( d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in A \).

\( A \) es cerrado \( \Longrightarrow A=\overline{A}\Longrightarrow (x\in A \Leftrightarrow x\in \overline{A}\overset{\small c)}{\Leftrightarrow} d(x,A)=0) \)

\( (x\in A\Leftrightarrow d(x,A)=0\overset{\small c)}{\Leftrightarrow} x\in \overline{A})\Longrightarrow A=\overline{A}\Longrightarrow \) \( A \) es cerrado.

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\( ^\dagger \): He intentado por reducción al absurdo y usando la propiedad triangular de la distancia, pero no se llega a contradicción.

La desigualdad del apartado a) no puede ser estricta, por ejemplo considera \( A=\{y\} \). Para el apartado b): sí, si la imagen de toda sucesión convergente converge entonces la función es continua. La continuidad de una función en un punto puede probarse si se demuestra que para cualquier sucesión convergente al punto la sucesión imagen converge a la imagen del punto límite.

Para c): si \( x\in \overline{A} \) entonces existe una sucesión \( (x_n) \) en \( A \) que converge a \( x \). Del apartado a) obtienes que \( d(x,A)\leqslant \lim_{n\to \infty }d(x_n,x)=0 \).

El otro sentido es muy parecido: si \( d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\} \) entonces por definición de ínfimo para cada \( \epsilon >0 \) existe un \( y_\epsilon \in A \) tal que \( |d(x,y_\epsilon )-d(x,A)|=d(x,y_\epsilon)<\epsilon  \), de ahí deducimos que existe una sucesión \( (y_n) \) en \( A \) que converge a \( x \).

El apartado d) es consecuencia inmediata del apartado c).

25 Enero, 2020, 07:29 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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