Autor Tema: Un polinomio mínimo a partir de una raíz conocida

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08 Enero, 2020, 01:45 pm
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Fernando Moreno

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Hola, Feliz nuevo año

Mirando por internet me encuentro con esto (traducido): Tengo esta raíz:  \( \alpha=\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3} \) .  Luego:  \( (\alpha-\sqrt{3})^2- 2=0 \) .

"Por consiguiete"  " \( \alpha \) "  es la raíz de este polinomio:  \( P(x) = x^2 - 2 \sqrt{3}x +1 \) .

¿Cómo lo hace? ¿Por qué es evidente?

Gracias de antemano
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

08 Enero, 2020, 02:06 pm
Respuesta #1

sugata

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\( (\alpha-\sqrt[ ]{3})^2-2=\alpha^2-2\sqrt[ ]{3}\alpha+3-2 \)
Editado que me faltaba un alfa.

08 Enero, 2020, 02:42 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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\( (\alpha-\sqrt[ ]{3})^2-2=\alpha^2-2\sqrt[ ]{3}\alpha+3-2 \)
Editado que me faltaba un alfa.

Jaja sugata ¿cómo no lo he visto? !! Y yo pensando que era por profundos temas de conocimiento de polinomios.. Qué fuerte. Vaya cómo empiezo el año

Muchas gracias
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09 Enero, 2020, 05:48 am
Respuesta #3

feriva

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Hola, Fernando, Feliz Año.

Hola, Feliz nuevo año

Mirando por internet me encuentro con esto (traducido): Tengo esta raíz:  \( \alpha=\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3} \) .  Luego:  \( (\alpha-\sqrt{3})^2- 2=0 \) .

"Por consiguiete"  " \( \alpha \) "  es la raíz de este polinomio:  \( P(x) = x^2 - 2 \sqrt{3}x +1 \) .

¿Cómo lo hace? ¿Por qué es evidente?

Gracias de antemano

No es tanto como “evidente”, pero sí es fácil.

También podría haber despejado la raíz de 2 en vez de la de 3:

\( \alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}
  \)

restando \( \sqrt{2}
  \) a ambos lados

\( \alpha-\sqrt{2}=\sqrt{3}
  \)

elevando al cuadrado a los dos lados

\( (\alpha-\sqrt{2})^{2}=3
  \)

\( (\alpha-\sqrt{2})^{2}-3=0
  \)

Y ahora, si alfa es un raíz de P(x), entonces \( (x-\alpha)=0\Rightarrow x=\alpha
  \).

Sustituyendo

\( (x-\sqrt{2})^{2}-3=0
  \)

desarrollando el cuadrado

\( x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x+2-3=0
  \)

\( x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1=0
  \)

...

Si ahora igualas lo que te dan ahí a partir de hacer el despeje de la otra forma, tienes

\( x^{2}-2\sqrt{3}\cdot x+1=x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1
  \)

cancelando x y restando 1 a los lados

\( -2\sqrt{3}\cdot x=-2\sqrt{2}\cdot x-2
  \)

Sacando factor común -2 en la derecha

\( -2\sqrt{3}\cdot x=-2(\sqrt{2}\cdot x+1)
  \)

cancelando el -2

\( \sqrt{3}\cdot x=\sqrt{2}\cdot x+1
  \)

despejando “x” y sacando factor común “x”

\( x(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1
  \)

y, ahora, como tienes que \( x=\sqrt{3}+\sqrt{2}
  \)

sustituyendo

\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1
  \).

Y es lo mismo.

Saludos.