Autor Tema: Encontrar dos números que sumados den...

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18 Enero, 2020, 04:31 pm
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Morren

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Dado los números.
'x','y' son enteros

Sí  x > y                ...(I)

11*x + 7*y =123   ...(II)

Encontrar x, y

La respuesta a esto es: x=8 ; y=5 y son los únicos números que cumplen las dos ecuaciones, siendo que deben ser enteros. El problema es que no sé cómo encontrar este tipo de valores sin necesidad de prueba y error (reemplazando valores).

Hay una manera de encontrar la suma de dos números siendo que cada uno es múltiplo de un número determinado, en esta caso 11 y 7 respectivamente, esto sí se conoce la suma.

(si fuera y>x entonces la respuesta sería x=1 ; y=16). Con lo que, me parece, solo existen dos soluciones que cumplen la ecuación (II)



18 Enero, 2020, 04:55 pm
Respuesta #1

sugata

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18 Enero, 2020, 09:26 pm
Respuesta #2

feriva

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(si fuera y>x entonces la respuesta sería x=1 ; y=16). Con lo que, me parece, solo existen dos soluciones que cumplen la ecuación (II)




Hola.

En general, existen infinitas soluciones (condiciones aparte). Lo que se hace está explicado en el enlace que te ha dado Sugata.

El mcd de esos números es 1.

Entonces planteas la ecuación

11*x + 7*y =1

En este caso es muy sencillo, se acaba enseguida

Se divide el mayor coeficiente, 11, del menor, y se halla el resto, que en este caso es trivialmente 4. Ahora se escribe la expresión del algoritmo de la división

1ª \( {\color{blue}11-7\cdot1}=4
  \)

2ª Ahora se toma lo que era el divisor, 7, y se divide del resto, 4, y se hace lo mismo

\( {\color{blue}7-4\cdot1}=3
  \)

Igualmente ahora se toma 4 (lo que era el divisor aquí) y se divide de 3, el último resto que hemos obtenido; y otra vez se escribe lo mismo

\( 4-3\cdot1=1
  \)

Ahi ya es igual al mcd.

En esta última igualdad, sustituyes los restos anteriores (según lo que da la igualdad) y tomando las ecuaciones de abajo arriba; primero la 2ª y después la 1ª

\( 4-({\color{blue}7-4\cdot1})\cdot1=1
  \) o sea \( 4-(7-4)=1
  \)

Lo próximo que vamos a sustituir es el 4, asi que no se debe transformar eso en 8-7=1 ni nada así, sino que tiene que “verse” el 4 para poder sustituir

\( 2\cdot4-7=1
  \)

y ahora sí, sustituimos

\( 2\cdot({\color{blue}11-7})-7=1
  \)

Los coeficientes del 11 y el 7 son, entonces, 2 y -3, quedando la ecuación

\( 2(11)+(7)(-3)=1
  \)

Si ahora mutliplicas a los dos lados la ecuación por 123 (sin tocar el 11 y el 7) tienes una solución particular para x,y:

\( 246(11)-369(7)=123
  \)

Y te sirve, porque 246 es un entero mayor que -369.

No obstante, se tienen unas ecuaciones que te dan todas las soluciones:

\( x=x_{0}+k\dfrac{b}{d}
  \); \( y=y_{0}-k\dfrac{a}{d}
  \);

Donde las x,y subcero son las soluciones particulares, “a” es el coeficiente de “x”, en este caso “11” y “b” es el de “y”, en este caso 7. En cuanto a “d”, es el mcd, que en esta caso era 1.Y k es una variable a la que pudes dar cualquier valor para obtener soluciones.

Saludos.

19 Enero, 2020, 01:52 am
Respuesta #3

Morren

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La respuesta parece más difícil que intentar un prueba y error, al parecer.
Si quiero encontrar una solución de números enteros positivos, como los anteriores (5,8) o (1,16)
Tendría :
X = Xo + k(b/d)
Y = Yo + k(a/d)
reemplazando los valores
Xo = 246   ,   Yo = -369
a = 11   ,    b = 7 , d  =  1
Entonces:
X = 246 + 7k
Y = -369 - 11k

Si el problema fuera " si se avanza en un tablero infinito a saltos de 11 unidades desde un punto inicial y se llega hasta cierto punto, desde ahí se regresa a saltos de 7 unidades, pero deteniéndose sin llegar al punto de partida , tal que, la distancia total recorrida es 123 unidades, teniendo en cuenta que no se alcanzó el punto de partida al regresar, ¿cuántos saltos se dieron?" (el recorrido siempre es lineal)

11x+7y = 123
x,y son números enteros
x>y

Para solucionar esto tendría que intentar dar valores a "k" :
X = 246 + 7 (-34) = 246-238 = 8
Y = -369 - 11 (-34) = -369 + 374 = 5

Me parece más difícil que solo darle valores enteros a 'x':
11(x) + 7y = 123 -> 7y = 123 - 11(x) -> y = (123-11x)/7 (para cualquier resultado divisible por 7)
Voy descartando los que no son divisibles por 7 y comenzando desde el 1 podría llegar a la solución
Sí un número es divisible por 7 se cumple:
123 - 22 = 121
123 - 33 = 90
123 - 44 = 79
123 - 55 = 68
123 - 66 = 57
123 - 77 = 46
123 - 88 = 35 (sí es divisible por 7)

Se ha omitido 'x' = 1 por razones obvias ya que ha tenido que avanzar más de 1 salto en el tablero.
123 - 11 = 112 (donde si separamos su último dígito y lo multiplicamos por 2:  11 - 2*(2) = 7 (es por tanto un número divisible por 7 y es otra solución)

Dejando a un lado el x=1, la solución sería: número total de saltos sería 8+5 = 13



19 Enero, 2020, 10:46 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Una vez que llegas a esto:

X = 246 + 7k
Y = -369 - 11k

Si impones \( x>y \) equivale a:

\( 246+7k<-369-11k\quad \Leftrightarrow{}\quad k<\dfrac{-615}{18} \)

Como \( k \) es entero, la condición es:

\( k\leq -35 \)  (i)

Si quieres que las soluciones sean positivas, adiconalmente imponemos \( x,y>0 \):

\( 246+7k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k>\dfrac{-246}{7}\quad \Leftrightarrow{}\quad k\geq -34 \) (ii)
\( -369-11k>0\quad \Leftrightarrow{}\quad k<\dfrac{-369}{11}\quad \Leftrightarrow{}\quad k\leq -34 \) (iii)

De las condiciones (i),(ii),(iii) se deduce que necesariamente \( k=-34 \) y:

\( x=246-7\cdot 34=8 \)
\( y=-369+11\cdot 34=5 \)

Saludos.

19 Enero, 2020, 12:49 pm
Respuesta #5

feriva

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La respuesta parece más difícil que intentar un prueba y error, al parecer.


A veces se ven las soluciones directamente y no hace falta esto; pero es el método general, no siempre va a ser tan fácil.

Aquí

\( x=246+7k
  \)

\( y=-369-11k
  \)

puedes expresar las soluciones en función de 7 y de 11 (que es lo que se suele hacer siempre, por otra parte)

\( x=1+7\cdot35+7k
  \)

\( y=-6-11\cdot33-11k
  \)

Si sacas factor común 7 y 11 te queda así

\( x=1+7(35+k)
  \)

\( y=-6+11(-33-k)
  \)

Donde das valores a k.

Y se ve bien lo que dice Luis; ahí “k” tiene que ser un negativo mayor (en valor absoluto) que 33, para que “y” sea positivo. El primero que cumple eso es k=-34 y así tienes “y=5, x=8”. Si haces k=-35, el siguiente, entonces “y=16” y arriba x=1, las dos son positivas, pero no cumplen x>y; por lo que sólo vale k=-34 para las condiciones del problema.

Saludos.

19 Enero, 2020, 06:32 pm
Respuesta #6

Morren

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Gracias por sus respuestas Feriva, Luis Fuentes y sugata.