Autor Tema: Dados subespacios de \(\Bbb{R}^3\) hallar constante para que sea suma directa

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17 Enero, 2020, 01:23 am
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manooooh

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Hola!

Dados \( S=\langle(-a,-2,-8),(3,1,7)\rangle \) y \( T=\langle(4,a,11)\rangle \) subespacios de \( \Bbb{R}^3 \):

a) Hallar \( a\in\Bbb{R} \) para que la suma \( S+T \) sea directa.

b) Para dichos valores, dar una base y dimensión de \( S+T \) y \( S\cap T \).




Tengo problemas con el (a).

Me estoy guiando por https://aga.frba.utn.edu.ar/operaciones-con-subespacios/#Suma_de_subespacios

Para que la suma sea directa ha de ocurrir que \( S\cap T=\{(0,0,0)\} \). Hallemos las ecuaciones de \( S \):

\( (x,y,z)=\omega(-a,-2,-8)+\gamma(3,1,7)=(-a\omega+3\gamma,-2\omega+\gamma,-8\omega+7\gamma) \) esto implica

\( \left\{\begin{matrix}-a\omega+3\gamma=x\\-2\omega+\gamma=y\\-8\omega+7\gamma=z\end{matrix}\right. \)

y aquí ya me pierdo porque no sé cómo despejar \( \omega \) y \( \gamma \).

Lo que hice fue plantear la matriz del sistema:

\( \begin{pmatrix}-a&3&x\\-2&1&y\\8&7&z\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-a&3&x\\-8&4&4y\\8&7&z\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-a&3&x\\-8&4&4y\\0&11&4y+z\end{pmatrix} \)

luego \( 11\gamma=4y+z \) es decir \( \gamma=\dfrac{4y+z}{11} \). Luego \( -2\omega+\gamma=y \) equivale a \( -2\omega+\dfrac{4y+z}{11}=y \) es decir que \( \omega=\dfrac{z-7y}{22} \).

Finalmente tenemos que:

\( \displaystyle x=-a\omega+3\gamma\implies x=-a\frac{z-7y}{22}+3\frac{4y+z}{11}=-\frac{a}{22}z+\frac{7a}{22}y+\frac{12}{11}y+\frac{3}{11}z=\left(\frac{7a}{22}+\frac{12}{11}\right)y+\left(-\frac{a}{22}+\frac{3}{11}\right)z. \)

Es decir que

\( \displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in\Bbb{R}^3\mid x=\left(\frac{7a}{22}+\frac{12}{11}\right)y+\left(-\frac{a}{22}+\frac{3}{11}\right)z\right\}. \)

¿Está bien?



No sé cómo hacer con \( T \).

Gracias!!
Saludos

17 Enero, 2020, 02:54 am
Respuesta #1

delmar

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Hola manooooh

Entendiendo que significa que \( S\cap{T}=\left\{{(0,0,0)}\right\} \), S y T se pueden poner de esta forma :

\( S=\left\{{c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right], \ c_1,c_2\in{R}}\right\} \)

\( T= \left\{{\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]}\right\} \)

Haciendo una observación se tiene que los vectores \( \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right], \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right] \) son linealmente independientes (verificar) y que el vector \( \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right] \) es linealmente independiente, por que es diferente al nulo. En esas condiciones cada elemento de S y de T son generados con unicidad. La intersección lo constituyen los elementos tales que  :

\( c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]=\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]\Rightarrow{\begin{bmatrix}{-a}&{3}&{-4}\\{-2}&{1}&{-a}\\{-8}&{7}&{-11}\end{bmatrix}} \ \left[\begin{array}{ccc}{c_1}\\{c_2}\\{\alpha}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right] \)

Si hay varias soluciones la intersección tendrá varios elementos, en consecuencia para que la intersección sea solo el elemento neutro, el determinante de la matriz ha de ser distinto de cero. A partir de ahí es sencillo


Saludos

17 Enero, 2020, 03:17 am
Respuesta #2

manooooh

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18 Enero, 2020, 12:50 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

(...) La intersección lo constituyen los elementos tales que  :

\( c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]=\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]\Rightarrow(\ldots) \)

Tengo una consulta con esa igualdad. Originalmente tenemos:

\( c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]+\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right] \)

porque eso se desprende necesariamente de la definición del núcleo, ¿no es así?

Pero al ser \( \alpha \) un escalar podemos adoptar \( \alpha:=-\alpha \) para tener:

\( c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]-\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\implies c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]=\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right] \)

¿Es correcto? ¿Cómo lo explicarías?

Saludos

19 Enero, 2020, 11:11 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Tengo una consulta con esa igualdad. Originalmente tenemos:

\( c_1 \ \left[\begin{array}{ccc}{-a}\\{-2}\\{-8}\end{array}\right]+ c_2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{1}\\{7}\end{array}\right]+\alpha \ \left[\begin{array}{ccc}{4}\\{a}\\{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right] \)

porque eso se desprende necesariamente de la definición del núcleo, ¿no es así?

Es que no sé porque haces intervenir ahí nada sobre el núcleo.

Delmar está calculando una intersección.

Los elementos de un subespacio son combinación lineal de \( (-a,-2,-8) \) y \( (3,1,7) \) y los del otro combinación lineal de \( (4,a,11) \). Los elementos de la intersección son comunes a ambos y por tanto se pueden escribir simultáneamente como combiación lineal de los dos primeros o del tercero. Por eso igual ambas combinaciones lineales.

Saludos.

19 Enero, 2020, 11:36 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Gracias por la explicación Luis. Creo no recordar esa forma de igualar vectores, siempre era creando un sistema de ecuaciones y despejar y ver qué conclusión podíamos sacar.

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios, y por eso delmar los iguala, ¿de acuerdo?

¿Qué pasaría si fuese una unión en vez de intersección de subespacios? ¿Qué igualdad/expresión escribimos?

Creo recordar que en general la unión no es cerrada bajo cierto tipo de conjuntos así que podría no estar definida esa operación, pero no sé.

Gracias y saludos

19 Enero, 2020, 11:49 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Gracias por la explicación Luis. Creo no recordar esa forma de igualar vectores, siempre era creando un sistema de ecuaciones y despejar y ver qué conclusión podíamos sacar.

En la intersección están los elementos comunes a ambos subespacios, y por eso delmar los iguala, ¿de acuerdo?

De acuerdo; y quiero que hacer hincapié en que, más allá de que se haya visto antes o no, el planteamiento de delmar es totalmente natural. Lo primero que a uno se le ocurriría sin más que entender que es la intersección de dos conjuntos (elementos comunes) y cuales son los elementos que componen un "subespacio generado por" (la combinación lineal de sus generadores).

Otra forma de gestionar intersecciones de subespacios es utilizar sus ecuaciones implícitas. Las de un subespacio y las del otro unidas son las ecuaciones de la intersección.

Citar
¿Qué pasaría si fuese una unión en vez de intersección de subespacios? ¿Qué igualdad/expresión escribimos?

Creo recordar que en general la unión no es cerrada bajo cierto tipo de conjuntos así que podría no estar definida esa operación, pero no sé.

La unión de subespacios no es en general un subespacio, salvo en el caso trivial en el que uno esté contenido el en otro.

Entonces no tiene sentido plantearse la cuestión. En todo y simplemente por definición de unión, son los vectores de uno ó de otro subespacio, es decir los que se escriben como combinación lineal de los dos generadores de uno y también los que se escriben como combinación lineal del tercero.

Saludos.

19 Enero, 2020, 07:54 pm
Respuesta #7

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
El problema también se puede plantear de la siguiente manera: dado que una base de \( S \) es \( B_S=\left\{{(-a,-2,-8),(3,1,7)}\right\} \) y una de \( T \) es \( B_T=\left\{{(4,a,11)}\right\} \) y por una conocida cararacterización de la suma directa,

          \( \mathbb{R}^3=S\oplus T\Leftrightarrow B_S\cup B_T=B_{\mathbb{R}^3}(\text{ base de }\mathbb{R}^3)\Leftrightarrow \det \begin{bmatrix}{-a}&{-2}&{-8}\\{3}&{1}&{7}\\{4}&{a}&{11}\end{bmatrix}\ne 0. \)

Para tales valores de \( a, \) \( S\cap T=\{0\} \) con lo cual, \( B_{S\cap T}=\emptyset \) y \( S+T=\mathbb{R}^3 \) y una base de \( S+T \) es por ejemplo la canónica de \( \mathbb{R}^3 \).
Puede ser interesante, http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/27/teorema-de-la-base-incompleta/ (apartado 4).

19 Enero, 2020, 08:54 pm
Respuesta #8

sugata

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El problema también se puede plantear de la siguiente manera: dado que una base de \( S \) es \( B_S=\left\{{(-a,-2,-8),(3,1,7)}\right\} \) y una de \( T \) es \( B_T=\left\{{(4,a,11)}\right\} \) y por una conocida cararacterización de la suma directa,

          \( \mathbb{R}^3=S\oplus T\Leftrightarrow B_S\cup B_T=B_{\mathbb{R}^3}(\text{ base de }\mathbb{R}^3)\Leftrightarrow \det \begin{bmatrix}{-a}&{-2}&{-8}\\{3}&{1}&{7}\\{4}&{a}&{11}\end{bmatrix}\ne 0. \)

Para tales valores de \( a, \) \( S\cap T=\{0\} \) con lo cual, \( B_{S\cap T}=\emptyset \) y \( S+T=\mathbb{R}^3 \) y una base de \( S+T \) es por ejemplo la canónica de \( \mathbb{R}^3 \).
Puede ser interesante, http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/27/teorema-de-la-base-incompleta/ (apartado 4).

No conocía ese teorema, pero la verdad es que es muy intuitivo.