Autor Tema: Matriz asociada a un operador lineal

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15 Enero, 2020, 02:28 pm
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rotse

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Hola a todos. tengo estas preguntas, sea \(  T: V \longrightarrow   V  \) una transformación lineal, cuando tenemos una base para V podemos hallar la matriz asociada a T, cuando V es de  dimensión finita no hay lío, pero cuando de es de dimensión infinita.
 1. ¿Es posible hallar la matriz asociada?
 2. Si es posible el item 1. ¿Cómo hallo la matriz asociada?
Agradecería sus respuestas y bibliografía del tema. Gracias.

15 Enero, 2020, 05:55 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos. tengo estas preguntas, sea \(  T: V \longrightarrow   V  \) una transformación lineal, cuando tenemos una base para V podemos hallar la matriz asociada a T, cuando V es de  dimensión finita no hay lío, pero cuando de es de dimensión infinita.
 1. ¿Es posible hallar la matriz asociada?
 2. Si es posible el item 1. ¿Cómo hallo la matriz asociada?
Agradecería sus respuestas y bibliografía del tema. Gracias.

En un espacio vectorial de dimensión infinita siempre se puede definir una base de Hamel, por tanto se puede definir algo similar a una "matriz", aunque cada fila de esta matriz puede tener longitud incontable. No sé hasta que punto tiene sentido hablar de matrices de dimensión incontable.

Luego en espacios normados se pueden definir (no sé si siempre) bases de Schauder, aunque la convergencia en estas bases no suele ser incondicional pero al menos son bases contables, lo que de cierta manera podría extender la noción de "matriz", aunque no sé si en este contexto tiene sentido hablar de matriz cuando la convergencia puede ser condicional.

Luego en espacios de Hilbert se pueden definir bases de Hilbert, las cuales pueden tener también cardinalidad incontable pero definen vectores como sumas no ordenadas (es decir, que convergen incondicionalmente). En este contexto si la base es contable tendría sentido hablar de matrices de dimensión infinita, al menos yo no veo complicación aquí.

Bibliografía: libros de análisis funcional, hay decenas, a porrón, pero no conozco ninguno que trate el tema de matrices infinitas aunque me consta que existen.

AÑADIDO: en el siguiente enlace se define el concepto de matriz infinita

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Infinite_matrices

15 Enero, 2020, 06:43 pm
Respuesta #2

rotse

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Gracias, "aunque me consta que existen"... :V

15 Enero, 2020, 06:47 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Yo el único contexto en que he visto matrices de dimensión infinita es en algunos libros de mecánica cuántica para físicos, donde las matemáticas son bastante poco rigurosas. Conectando con lo que explica Masacroso, el contexto en esos libros era el de matrices respecto de bases de Hilbert numerables en espacios de Hilbert (separables).

Esto no quiere decir que no exista el concepto riguroso o que no se use (no soy ningún experto en análisis), pero sí que no creo que sea demasiado habitual. En cualquier caso, la gracia de las matrices en el caso finito es que son un objeto muy conveniente para hacer cálculos, especialmente por ordenador donde hay muchos métodos para hacer cálculos rápidos con matrices. En el caso infinito todo esto se pierde. Por eso, aunque en dimensión infinita hay muchos resultados análogos a los del caso de dimensión finita que muchas veces se expresan por matrices, en dimensión infinita rara vez se mencionan explícitamente matrices.

Hay otro tema muy importante que puede explicar el poco interés por las matrices en el caso infinito-dimensional. En dimensión finita, todo espacio vectorial sobre un cuerpo \( k \) es isomorfo a \( k^n \), donde \( n \) es la dimensión del espacio vectorial. Por eso siempre puedes trabajar con matrices y la teoría de vectores de \( k^n \) y matrices es equivalente en cierta manera a la teoría general de espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
En cambio, en análisis funcional uno no está simplemente interesado en espacios vectoriales, sino en espacios vectoriales topológicos, donde la topología es fundamental (por eso el hincapié en operadores continuos, etc). Ahora puedes tener dos espacios vectoriales topológicos que sean isomorfos como espacios vectoriales pero que no sean isomorfos como e.v. topológicos. Sin embargo, si tomas matrices (respecto de una base de Hamel), las matrices no ven la topología, por lo que no te ayudan para nada a la hora de decidir si una aplicación lineal es continua o no, cosa de importancia fundamental en análisis funcional.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Enero, 2020, 07:38 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Gracias, "aunque me consta que existen"... :V

Hay un libro al que le estuve echando un vistazo por encima hace relativamente poco que utiliza matrices infinitas, es un libro dedicado al cálculo umbral, titulado Modern Umbral Calculus de Francesco Costabile. Se utilizan para representar sucesiones de polinomios. Lo puedes encontrar en la librería génesis, si te interesa echarle un vistazo.

Y si buscas en google por "infinite matrix" salen bastantes artículos sobre el tema. O buscando en castellano por "matriz infinita" también salen muchas entradas.

Por otra parte si miras las notas de la página de wikipedia que te dejé antes verás esta cita en relación a las matrices infinitas que da una idea de sus limitaciones:

Citar
"Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." Halmos 1982, p. 23, Chapter 5