Autor Tema: Examen de Topología General.

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14 Enero, 2020, 10:29 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Ejercicio 1 (1'5 puntos) Sea \( (X,\mathcal{T}) \) un espacio topológico y \( A\subset X \). Indíquese, justificadamente, cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles son falsos:

i) \( int(A)=int(\overline{A}).[/b]

Falso. Como contraejemplo, [tex]A=(a,b)\cup(b,c) \).
\( int(A)=(a,c)\setminus \{b\} \)
\( int(\overline{A})=(a,c) \)

ii) \( \overline{A}=\overline{int(A)} \).

Falso. Como contraejemplo, \( A=\{0\} \).
\( \overline{A}=\{0\} \)
\( \overline{int(A)}=\emptyset \)

iii) \( Fr(\overline{A})=Fr(A) \).

¿Verdadero?

iv) \( Fr(int(A))=Fr(A). \)

Falso. Como contraejemplo, \( A=\{0\} \).
\( Fr(int(A))=\emptyset \)
\( Fr(A)=\{0\} \)

Ejercicio 2 [6'5 puntos] En \( \mathbb{R}^2 \) se consideran los conjuntos \( \mathscr{A}_r=B((0,0);r) \) con \( r>0 \), siendo \( B((0,0);r)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2; \sqrt{x^2+y^2}<r\} \)

1) Probar que la familia \( \mathscr{A}=\{\mathscr{A}_r\}\cup \{(0,0)\} \) es base para una topología \( \mathcal{T} \) sobre \( \mathbb{R}^2 \).

\( \mathscr{A} \) es un recubrimiento de \( \mathbb{R}^2 \).
\( \forall B_{\alpha},B_{\beta} \in \mathscr{A}: B_{\alpha}\cap B_{\beta}\neq \emptyset\:\: \exists B_{\gamma}\in \mathscr{A}\: / \:\: B_{\gamma}\subseteq B_{\alpha}\cap B_{\beta} \)
\( B_{\gamma} \) es \( B_{min\{\alpha,\beta\}} \)

2) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) un espacio de Hausdorff?

¿Cumple el axioma de separación T2?
\( T2: \forall x,y \in \mathbb{R}^2 (x\neq y)\:\: \exists U,V\in \mathcal{T}: x\in U \wedge y\in V \wedge U\cap V=\emptyset \)
Existen puntos distintos del plano para los cuales no es posible hallar abiertos que los contengan y que sean disjuntos. Conclusión: no es Hausdorff.

3) Obtener los puntos límites de las siguientes sucesiones \( x_n=\bigg\{\bigg(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\bigg)\bigg\} \), \( y_n=\bigg\{\bigg(1+\dfrac{1}{n},0\bigg)\bigg\} \)

Los abiertos básicos son discos concéntricos en \( (0,0) \).

4) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) separable? ¿Es 2ºN?

\( \mathbb{Q}^2 \) es denso porque \( (\forall B\in \mathscr{A})\:B\cap \mathbb{Q}^2\neq \emptyset \) y es numerable por ser producto cartesiano finito de conjuntos numerables.
Incluso, el conjunto \( \{(a,0)\in \mathbb{R}^2: a\in \mathbb{Q}^+\cap \{0\}\} \) también es un conjunto denso y numerable. Entonces \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) es separable.

La base formada por los discos concéntricos en \( (0,0) \) y de radio racional es una base numerable de la topología considerada, luego es 2ºN.

5) Obtener una base de \( \mathcal{T}|_A \), siendo \( A= \) eje \( OX \) , y de \( \mathcal{T}|_B \), siendo B la recta \( x=1 \).

\( \mathcal{B}_{\mathcal{T}|_A}=\{(-r,r)\in\mathbb{R}:r\in \mathbb{R}\} \)
\( \mathcal{B}_{\mathcal{T}|_B}=\{(-r',r')\in\mathbb{R}:r'\in \mathbb{R}\} \)

6) Obtener el interior y el derivado de los siguientes conjuntos del plano:

\( A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\} \)
\( int(A)=\emptyset \)
\( A'=\{x\in \mathbb{R}^2: (\forall B_x \in \mathscr{A})B_x\cap (A\setminus \{x\})\neq \emptyset\}=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \)

\( B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\geq 1\} \)
\( int(B)=\emptyset \)
\( B'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \)

\( C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1<x<2\} \)
\( int(C)=\emptyset \)
\( C'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \)

\( D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=0\} \)
\( int(D)=\emptyset \)
\( D'=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \)

7) Indicar cuáles de las siguientes aplicaciones son continuas

Una aplicación es continua si \( (\forall x) (\forall N_x \in \mathcal{N}_x)\: \exists M\in \mathcal{T}_Y \, / \:\: f(N_x)\subseteq M \)

Una aplicación es continua si \( (\forall x)(\forall B_{f(x)}\in B_{Y})f^{-1}(B_{f(x)})\in \mathcal{T}_X \)


i) \( f:(\mathbb{R},\mathcal{T}_e)\to (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) dada por \( f(x)=(x,x) \).

¿Cuál es el método a seguir?

ii) \( g:(\mathbb{R}^2,\mathcal{T})\to (\mathbb{R},\mathcal{T}_e) \) dada por \( g((x,y))=x.[/b]

[color=maroon]¿Cuál es el método a seguir?[/color]

[b]iii) [tex]h: (\mathbb{R}\setminus \{0\},\mathcal{T}_e)\to (A,\mathcal{T}|_A) \) dada por \( h(x)=(x,0) \) siendo A el eje \( Ox \).


¿Cuál es el método a seguir?

8) ¿Cuáles de las anteriores aplicaciones son abiertas?

Una aplicación es abierta si lleva abiertos en abiertos. Se toman abiertos de tipo génerico y se comprueba cómo son al aplicarles \( f \) y si coinciden con abiertos básicos de la topología de llegada.

i) No es abierta.

ii) No es abierta porque lleva el abierto \( (0,0) \) en el conjunto unitario \( \{0\} \), que es cerrado en la topología euclídea.

iii) No es abierta.

9) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) conexo?

Un espacio topológico es conexo si no existen conjuntos que sean a la vez abiertos y cerrados. Por esta razón, \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) es conexo.

10) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) compacto? ¿Lo es \( \big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big) \)?

Un conjunto en un espacio topológico es compacto si de todo recubrimiento del mismo por abiertos puede extraerse un subrecubrimiento finito.

Para \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \), los elementos de la base son discos concéntricos en \( (0,0) \), así que cualquier recubrimiento forma un sucesión de discos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a \( (0,0) \), se obtiene un subrecubrimiento de \( \mathbb{R}^2 \) formado por dos elementos.

Para \( \big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big) \), los abiertos son: \( \{0\} \), \( (0,a) \) con \( a\in \mathbb{R} \), \( (0,1] \) y sus uniones. Cualquier recubrimiento forma una sucesión de intervalos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a \( \{0\} \), se obtiene un subrecubrimiento de \( [0,1] \) formado por dos elementos.

Ejercicio 3 [2 puntos] Sobre \( \mathbb{Z} \) se considera la familia \( \mathcal{B}=\{\mathcal{B}_n\}_{n\in\mathbb{Z}} \) donde \( \mathcal{B}_n=\begin{cases} \{n\} & \text{si n es impar}\\ \{n-1,n,n+1\} & \text{si n es par}\end{cases} \)

i) Si \( m \) es impar, probar que \( f:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T}) \) dada por \( f(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t<1\\ m+1 & \text{si} & t=1\end{cases} \) es continua.

¿Cómo se hace?

ii) Si m es par, probar que \( g:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T}) \) dada por \( g(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t=0\\ m+1 & \text{si} & t>0\end{cases} \) es continua.

¿Cómo se hace?

iii) Probar que \( (\mathbb{Z},\mathcal{T} \) es conexo por caminos.

¿Cómo se hace?

Gracias.

16 Enero, 2020, 12:21 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Ejercicio 1 (1'5 puntos) Sea \( (X,\mathcal{T}) \) un espacio topológico y \( A\subset X \). Indíquese, justificadamente, cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles son falsos:

i) \( int(A)=int(\overline{A}).[/b]

Falso. Como contraejemplo, [tex]A=(a,b)\cup(b,c) \).
\( int(A)=(a,c)\setminus \{b\} \)
\( int(\overline{A})=(a,c) \)

Bien.

Citar
ii) \( \overline{A}=\overline{int(A)} \).

Falso. Como contraejemplo, \( A=\{0\} \).
\( \overline{A}=\{0\} \)
\( \overline{int(A)}=\emptyset \)

Bien.

Citar
iii) \( Fr(\overline{A})=Fr(A) \).

¿Verdadero?

Piensa en el mismo ejemplo que pusiste en (i).

Citar
iv) \( Fr(int(A))=Fr(A). \)

Falso. Como contraejemplo, \( A=\{0\} \).
\( Fr(int(A))=\emptyset \)
\( Fr(A)=\{0\} \)

Bien.

Citar
Ejercicio 2 [6'5 puntos] En \( \mathbb{R}^2 \) se consideran los conjuntos \( \mathscr{A}_r=B((0,0);r) \) con \( r>0 \), siendo \( B((0,0);r)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2; \sqrt{x^2+y^2}<r\} \)

1) Probar que la familia \( \mathscr{A}=\{\mathscr{A}_r\}\cup \{(0,0)\} \) es base para una topología \( \mathcal{T} \) sobre \( \mathbb{R}^2 \).

\( \mathscr{A} \) es un recubrimiento de \( \mathbb{R}^2 \).
\( \forall B_{\alpha},B_{\beta} \in \mathscr{A}: B_{\alpha}\cap B_{\beta}\neq \emptyset\:\: \exists B_{\gamma}\in \mathscr{A}\: / \:\: B_{\gamma}\subseteq B_{\alpha}\cap B_{\beta} \)
\( B_{\gamma} \) es \( B_{min\{\alpha,\beta\}} \)

Bien.

Citar
2) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) un espacio de Hausdorff?

¿Cumple el axioma de separación T2?
\( T2: \forall x,y \in \mathbb{R}^2 (x\neq y)\:\: \exists U,V\in \mathcal{T}: x\in U \wedge y\in V \wedge U\cap V=\emptyset \)
Existen puntos distintos del plano para los cuales no es posible hallar abiertos que los contengan y que sean disjuntos. Conclusión: no es Hausdorff.

Bien. Pero debes de especificar concretamente que dos puntos no puedes separar. De hecho puedes hacer notar que cualquier par de abiertos no vacíos se cortan: no hay abiertos disjuntos no vacíos.

Citar
3) Obtener los puntos límites de las siguientes sucesiones \( x_n=\bigg\{\bigg(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\bigg)\bigg\} \), \( y_n=\bigg\{\bigg(1+\dfrac{1}{n},0\bigg)\bigg\} \)

Los abiertos básicos son discos concéntricos en \( (0,0) \).

Para la primera demuestra que los puntos límite son \( \Bbb R^2-\{(0,0)\}. \)

Para la segunda demuestra que los puntos límite son los de \( \Bbb R^2-B((0,0),1) \).

Citar
4) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) separable? ¿Es 2ºN?

\( \mathbb{Q}^2 \) es denso porque \( (\forall B\in \mathscr{A})\:B\cap \mathbb{Q}^2\neq \emptyset \) y es numerable por ser producto cartesiano finito de conjuntos numerables.
Incluso, el conjunto \( \{(a,0)\in \mathbb{R}^2: a\in \mathbb{Q}^+\cap \{0\}\} \) también es un conjunto denso y numerable. Entonces \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) es separable.

La base formada por los discos concéntricos en \( (0,0) \) y de radio racional es una base numerable de la topología considerada, luego es 2ºN.

Bien.

Citar
5) Obtener una base de \( \mathcal{T}|_A \), siendo \( A= \) eje \( OX \) , y de \( \mathcal{T}|_B \), siendo B la recta \( x=1 \).

\( \mathcal{B}_{\mathcal{T}|_A}=\{(-r,r)\in\mathbb{R}:r\in \mathbb{R}\} \)
\( \mathcal{B}_{\mathcal{T}|_B}=\{(-r',r')\in\mathbb{R}:r'\in \mathbb{R}\} \)

Creo que querías poner en el primer caso, conjuntos de la forma \( \{(x,0)|x\in (-r,r)\} \) y en el segundo \( \{(1,y)|y\in (-r',r')\} \). En el primer acaso además tienes que añadir el \( \{(0,0)\} \).

Saludos.

16 Enero, 2020, 12:36 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

6) Obtener el interior y el derivado de los siguientes conjuntos del plano:

Entiendo que seguimos trabajando con la topología "rara" que te han definido arriba.

Citar
\( A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\} \)
\( int(A)=\emptyset \)

Bien.

Citar
\( A'=\{x\in \mathbb{R}^2: (\forall B_x \in \mathscr{A})B_x\cap (A\setminus \{x\})\neq \emptyset\}=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \)

Bien.

Citar
\( B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\geq 1\} \)
\( int(B)=\emptyset \)

Bien.

Citar
\( B'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \)

No. Sería (no se si es una errata), \( B'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\color{red}\geq\color{black} 1\}

[quote][tex]C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1<x<2\} \)
\( int(C)=\emptyset \)
\( C'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \)[/quote]

Mismo problema que en el anterior.

Citar
\( D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=0\} \)
\( int(D)=\emptyset \)
\( D'=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \)

Bien.

Citar
7) Indicar cuáles de las siguientes aplicaciones son continuas

Una aplicación es continua si \( (\forall x) (\forall N_x \in \mathcal{N}_x)\: \exists M\in \mathcal{T}_Y \, / \:\: f(N_x)\subseteq M \)

Una aplicación es continua si \( (\forall x)(\forall B_{f(x)}\in B_{Y})f^{-1}(B_{f(x)})\in \mathcal{T}_X \)


i) \( f:(\mathbb{R},\mathcal{T}_e)\to (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) dada por \( f(x)=(x,x) \).

¿Cuál es el método a seguir?

ii) \( g:(\mathbb{R}^2,\mathcal{T})\to (\mathbb{R},\mathcal{T}_e) \) dada por \( g((x,y))=x.[/b]

[color=maroon]¿Cuál es el método a seguir?[/color]

[b]iii) [tex]h: (\mathbb{R}\setminus \{0\},\mathcal{T}_e)\to (A,\mathcal{T}|_A) \) dada por \( h(x)=(x,0) \) siendo A el eje \( Ox \).


¿Cuál es el método a seguir?

En el general tienes que ver si la imagen recíproca de un abierto básico es abierta. Por ejemplo para la primera:

\( f^{-1}(B((0,0),r))=(-r,r) \) que es abierto con la topología euclídea. Luego si es continua.

Citar
8) ¿Cuáles de las anteriores aplicaciones son abiertas?

Una aplicación es abierta si lleva abiertos en abiertos. Se toman abiertos de tipo génerico y se comprueba cómo son al aplicarles \( f \) y si coinciden con abiertos básicos de la topología de llegada.

i) No es abierta.

ii) No es abierta porque lleva el abierto \( (0,0) \) en el conjunto unitario \( \{0\} \), que es cerrado en la topología euclídea.

iii) No es abierta.

Bien. Aunque para que sea abierta, las imágenes de abiertos básicos tienen que ser abiertos (pero no necesariamente abiertos básicos).

Por otra parte en todos los casos en los que digas que NO es abierta, concreta un abierto que tenga imagen no abierta.

Saludos.

16 Enero, 2020, 12:52 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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9) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) conexo?

Un espacio topológico es conexo si no existen conjuntos que sean a la vez abiertos y cerrados. Por esta razón, \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) es conexo.

Eso es cierto; aunque te podrían pedir que justificases porque no existen conjunto (distinto del vacío y total) que no son abiertos y cerrados. Basta notar en realidad que cualquier par de abiertos se cortan, porque todo abierto contiene al \( (0,0) \).

Citar
10) ¿Es \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \) compacto? ¿Lo es \( \big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big) \)?

Un conjunto en un espacio topológico es compacto si de todo recubrimiento del mismo por abiertos puede extraerse un subrecubrimiento finito.

Para \( (\mathbb{R}^2,\mathcal{T}) \), los elementos de la base son discos concéntricos en \( (0,0) \), así que cualquier recubrimiento forma un sucesión de discos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a \( (0,0) \), se obtiene un subrecubrimiento de \( \mathbb{R}^2 \) formado por dos elementos
.

Mal. Por ejemplo si tomas el recubrimiento \( \{B((0,0),n)\}_{n\in \Bbb B} \), ¿puedes extraer un subrecubrimiento finito?¿cuál?.

Citar
Para \( \big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big) \), los abiertos son: \( \{0\} \), \( (0,a) \) con \( a\in \mathbb{R} \), \( (0,1] \) y sus uniones. Cualquier recubrimiento forma una sucesión de intervalos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a \( \{0\} \), se obtiene un subrecubrimiento de \( [0,1] \) formado por dos elementos.

Es cierto que es compacto, pero no es cierto que cualquier subrecubrimiento sea de intervalos encajados. Por ejemplo \( [0,1-\frac{1}{n})\cup \{1-\frac{1}{2n}\} \) es un recubrimiento y no es de intervalos encajados. Piénsalo mejor.

Saludos.

16 Enero, 2020, 01:05 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Ejercicio 3 [2 puntos] Sobre \( \mathbb{Z} \) se considera la familia \( \mathcal{B}=\{\mathcal{B}_n\}_{n\in\mathbb{Z}} \) donde \( \mathcal{B}_n=\begin{cases} \{n\} & \text{si n es impar}\\ \{n-1,n,n+1\} & \text{si n es par}\end{cases} \)

El enunciado debería de decir que se considera esa familia como base de una topología en los enteros.

Citar
i) Si \( m \) es impar, probar que \( f:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T}) \) dada por \( f(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t<1\\ m+1 & \text{si} & t=1\end{cases} \) es continua.

Pues analiza si la imagen recíproca de un abierto básico es abierta.

Los abiertos básicos son de la forma \( \{n\} \) con \( n \) impar ó \( \{n-1,n,n+1\} \) con \( n \) par.

Para \( f^{-1}(\{n)\} \) con \( n \) impar,

- si \( n=m \) entonces \( f^{-1}(\{n\})=[0,1) \) que es abierto con la topología usual en \( [0,1]. \)

- si \( n\neq m \) entonces \( f^{-1}(\{n\})=\emptyset \) que es abierto con la topología usual en \( [0,1]. \)

Para \( f^{-1}(\{n-1,n,n+1)\} \) con \( n \) par,

- si \( n=m-1 \) entonces \( f^{-1}(\{n-1,n,n+1\})=f^{-1}(\{m-2,m-1,m\})=[0,1) \) que es abierto con la topología usual en \( [0,1]. \)

- si \( n=m+1 \) entonces \( f^{-1}(\{m,m+1,m+2\})=[0,1] \) que es abierto con la topología usual en \( [0,1]. \)

- si \( n\neq m-1,m+1 \) entonces \( f^{-1}(\{n-1,n,n+1\})=\emptyset \) que es abierto con la topología usual en \( [0,1]. \)

Citar
ii) Si m es par, probar que \( g:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T}) \) dada por \( g(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t=0\\ m+1 & \text{si} & t>0\end{cases} \) es continua.

¿Cómo se hace?

Parecido al anterior.

iii) Probar que \( (\mathbb{Z},\mathcal{T} \) es conexo por caminos.

Las aplicaciones anteriores son caminos que unen \( m \) con \( m+1 \).

Saludos.

16 Enero, 2020, 03:07 pm
Respuesta #5

Bobby Fischer

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No tengo palabras para agradecértelo.

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