Autor Tema: Continuidad de función

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21 Enero, 2020, 02:31 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Sea \( f:X\to Y \) una función cualquiera, \( X \) con la topología discreta e \( Y \) cualquier espacio topológico.

Supongamos que \( X=Y=\mathbb{R} \). Estoy inclinado a pensar que sea cual sea \( f \), es continua. La topología discreta es la más fina, por lo que la anteimagen por \( f \) de cualquier abierto debería poder representarse como unión de unitarios (abiertos) de la topología discreta. Sin embargo, en el caso de que \( \mathcal{T}_Y \) sea la euclídea, ¿cuál es la anteimagen del intervalo \( (0,1) \), si \( f(x)=x \)?

Saludos.

21 Enero, 2020, 02:56 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Sea \( f:X\to Y \) una función cualquiera, \( X \) con la topología discreta e \( Y \) cualquier espacio topológico.

Supongamos que \( X=Y=\mathbb{R} \). Estoy inclinado a pensar que sea cual sea \( f \), es continua. La topología discreta es la más fina, por lo que la anteimagen por \( f \) de cualquier abierto debería poder representarse como unión de unitarios (abiertos) de la topología discreta. Sin embargo, en el caso de que \( \mathcal{T}_Y \) sea la euclídea, ¿cuál es la anteimagen del intervalo \( (0,1) \), si \( f(x)=x \)?

Saludos.

Si \( X=\Bbb R  \) entonces \( f^{-1}((0,1))=(0,1) \). Y sí: toda función con dominio con topología discreta es continua, ya que la preimagen de cualquier conjunto es abierta.

21 Enero, 2020, 04:12 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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No había visto que \( (0,1)=\displaystyle\bigcup_{n=2}^\infty  \left[\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}\right] \) es abierto de la discreta por ser unión de abiertos de la misma.

Gracias,

Saludos.

21 Enero, 2020, 04:31 pm
Respuesta #3

Masacroso

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No había visto que \( (0,1)=\displaystyle\bigcup_{n=2}^\infty  \left[\dfrac{1}{n},1-\dfrac{1}{n}\right] \) es abierto de la discreta por ser unión de abiertos de la misma.

Gracias,

Saludos.

En la topología discreta cualquier conjunto de un solo elemento es abierto, y tenemos que \( A=\bigcup_{x\in A}\{x\} \) para cualquier conjunto \( A \), por lo que \( A \) es abierto.

21 Enero, 2020, 04:38 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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En la topología discreta cualquier conjunto de un solo elemento es abierto, y tenemos que \( A=\bigcup_{x\in A}\{x\} \) para cualquier conjunto \( A \), por lo que \( A \) es abierto.

Entendido.