Autor Tema: Valores y vectores propios en un espacio infinito dimensional

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14 Enero, 2020, 10:01 pm
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rotse

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Hola  a todos, estoy preparando un exposición sobre vectores y valores propios pero me encuentro de que solo hablan de espacios de dimensión finita y solo hablan de aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en si mismo, entonces tengo estas preguntas.

1. ¿Se pueden definir los conceptos de valor y vector propio de transformaciones lineales para espacios de dimensión infinita? si saben el nombre de estos conceptos se los agradecería.
2. ¿Se puede hablar de valores y vectores propios en una transformación de dos espacios distintos V y W de dimensión finita no necesariamente iguales?

14 Enero, 2020, 10:53 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola  a todos, estoy preparando un exposición sobre vectores y valores propios pero me encuentro de que solo hablan de espacios de dimensión finita y solo hablan de aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en si mismo, entonces tengo estas preguntas.

1. ¿Se pueden definir los conceptos de valor y vector propio de transformaciones lineales para espacios de dimensión infinita? si saben el nombre de estos conceptos se los agradecería.
2. ¿Se puede hablar de valores y vectores propios en una transformación de dos espacios distintos V y W de dimensión finita no necesariamente iguales?

1. Sí, y tienen el mismo nombre y definición. pero la definición de valor propio "difiere" un poco aunque es equivalente a la que se da en espacios de dimensión finita.
2. No, ya que para todo \( v\in V \) se cumple que \( Tv\notin V \) para una transformación lineal \( T:V\to W \) si \( V \) y \( W \) son espacios distintos.

15 Enero, 2020, 03:50 am
Respuesta #2

rotse

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Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.

15 Enero, 2020, 04:09 am
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.

Mira por ejemplo en este libro a partir de la página 294:

http://measure.axler.net/

15 Enero, 2020, 12:25 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Gracias por la respuesta, no he hallado literatura que hable de vectores y valores propios para una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita, a no ser el concepto de espectro de un operador lineal. ¿Usted me puede decir el nombre de algún libro o link donde pueda hallar dicha información? Gracias.

Veamos, no existe la más mínima diferencia. Se definen los conceptos de valor y vector propio de un endomorfismo sobre un espacio vectorial \( E \) independientemente de la dimensión de \( E \). Mira en http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/07/concepto-de-valor-y-vector-propio/ (resumen teórico). En el apartado 1 aparece un ejemplo en un espacio de dimensión finita y en el 2, en uno de dimensión infinita. En ambos se aplica la misma definición.

15 Enero, 2020, 02:31 pm
Respuesta #5

rotse

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Gracias por sus respuestas. El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?. Este hilo lo publiqué aparte, pero la verdad si quiero saber esto urgente, gracias.

16 Enero, 2020, 01:15 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?.

Exacto, sólo es posible cuando la dimensión es finita.

16 Enero, 2020, 01:20 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola a todos

Las preguntas son muy interesantes.

El escollo esta ahora cuando trabajo con la matriz asociada a la transformación. ¿Esta matriz es posible solo hallarla para endomorfismos de V, con V de dimensión finita?.

Exacto, sólo es posible cuando la dimensión es finita.

¿Cómo se demostraría eso, Fernando?

¿Por contradicción, suponiendo que la matriz asociada es infinita se llega a una contradicción, pero cómo?

Gracias y saludos

16 Enero, 2020, 09:12 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

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¿Cómo se demostraría eso, Fernando? ¿Por contradicción, suponiendo que la matriz asociada es infinita se llega a una contradicción, pero cómo?

No es exáctamente que se demuestre, está en la esncia de las cosas. Sobre un espacio vectorial \( E \) de dimensión finita cada endomorfismo se puede representar por una matriz. Esto no funciona para espacios de dimensión infinita. Aunque podríamos considerar matrices de orden infinito, (pogamos por ejemplo \( \dim E \) numerable) para la aplicabilidad de los cálculos a traves de una matriz infinita, tendríamos que trabajar con cuerpos donde se pudiera definir la convergencia de sumas infinitas. No es operativo.

16 Enero, 2020, 09:31 pm
Respuesta #9

manooooh

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