Autor Tema: Ideales maximales de A

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14 Enero, 2020, 02:27 pm
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marinavzqz

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Hola, me dan \( A=Z_{11}[ x]/I \) donde el ideal \( I=(x^2+4x+3) \) contenido en \( Z_{11}[ x] \)
A) decidir si A es DI. en caso de que no lo sea encontrar dos divisores de 0 no nulos de A. en este apartado he dicho que el polinomio I es reducible, por tanto A no es cuerpo y por tanto A no es DI y los divisores de 0 son (x+3) y (x+1) que son las raíces del polinomio.
B) dar dos ideales maizales de A.
C) demostar que el anillo A es isomorfo a \( Z_{11}\times Z_{11} \)
D) decidir el número de unidades de A y dar dos de ellas

estos apartados no se hacerlos, me podríais dar una orientación de donde empezar, gracias

21 Enero, 2020, 07:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola, me dan \( A=Z_{11}[ x]/I \) donde el ideal \( I=(x^2+4x+3) \) contenido en \( Z_{11}[ x] \)
A) decidir si A es DI. en caso de que no lo sea encontrar dos divisores de 0 no nulos de A. en este apartado he dicho que el polinomio I es reducible, por tanto A no es cuerpo y por tanto A no es DI y los divisores de 0 son (x+3) y (x+1) que son las raíces del polinomio.
B) dar dos ideales maizales de A.

Será maximales, ¿no?. Prueba con \( <(x+3)> \) y \( <(x+1)> \)

Citar
C) demostar que el anillo A es isomorfo a \( Z_{11}\times Z_{11} \)

Define \( f:Z[x ]\to Z_{11}\times Z_{11},\quad f(p(x))=(p(-3),p(-1)) \). Prueba que es homomorfismo sobreyectivo de anillos y que el núcleo es \( <(x+3)(x+1)> \). Aplica el primer teorema de isomorfía.

Citar
D) decidir el número de unidades de A y dar dos de ellas

Dado el isomorfismo anterior es el mismo que el número de unidades de \( Z_{11}\times Z_{11} \). Un tal elemento \( (a,b) \) es unidad en \( Z_{11}\times Z_{11} \) si \( a,b \) son unidades en \( Z_{11} \). Las unidades de \( Z_{11} \) son todos los elementos excepto del cero. Concluye.

Saludos.