Autor Tema: Maximizar un funcional

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14 Enero, 2020, 01:37 pm
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micabua

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Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias

14 Enero, 2020, 04:03 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias

¿El área no tiende a infinito para una curva suficientemente larga? Por otra parte la condición \( l>2 \) lo único que nos dice es que \( y \) no puede ser una recta.

EDICIÓN: ok, ya entiendo, se supone que la condición es un \( l>2 \) dado fijo, entonces el ejercicio tiene sentido. Luego edito si encuentro la manera de resolverlo.

ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html

14 Enero, 2020, 09:11 pm
Respuesta #2

micabua

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ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html

Efectivamente, es lo que uso yo para obtener esas circunferencias que te digo, pero solo me sirven si la longitud es menor que \( \pi \).

16 Enero, 2020, 05:06 pm
Respuesta #3

micabua

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