Autor Tema: Funciones integrables son medidas de Borel.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

19 Febrero, 2020, 02:24 am
Leído 844 veces

lindtaylor

  • Héroe
  • Mensajes: 1,315
  • País: cl
  • Karma: +0/-1
  • Sexo: Masculino
¡Hola! Viendo una demostración, en una parte se menciona que  \( L^1 \) está incrustado naturalmente en el espacio de medidas finitas de Borel, luego \( f \) pertenece al espacio de medidas finitas de Borel.

¿Por qué L^1 está incrustado en el espacio de medidas finitas de Borel?

Por lo que ví, dada una función\(  f\in L^1 \), se puede considerar la medida \( \eta(E)=\int_{E}f(x)dx,\ dx \) la medida de Lebesgue.
De esta forma, \(  \eta \) pertenece al espacio de medidas finitas de Borel pero no sería la función \( f  \)la perteneciente, si no, \( \eta \)...
....

19 Febrero, 2020, 03:05 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,105
  • País: es
  • Karma: +4/-0
¡Hola! Viendo una demostración, en una parte se menciona que  \( L^1 \) está incrustado naturalmente en el espacio de medidas finitas de Borel, luego \( f \) pertenece al espacio de medidas finitas de Borel.

¿Por qué L^1 está incrustado en el espacio de medidas finitas de Borel?

Por lo que ví, dada una función\(  f\in L^1 \), se puede considerar la medida \( \eta(E)=\int_{E}f(x)dx,\ dx \) la medida de Lebesgue.
De esta forma, \(  \eta \) pertenece al espacio de medidas finitas de Borel pero no sería la función \( f  \)la perteneciente, si no, \( \eta \)...

Sí, así es. En este caso se dice que \( \eta  \) es absolutamente continua respecto de \( \lambda  \) (la medida de Lebesgue) y se denota como \( \eta \ll \lambda  \). Toda función integrable define, de esa manera, una medida finita de Borel. Esas medidas no son, en general, no-negativas sino que también pueden tomar valores negativos o complejos.

Una función no-negativa y localmente integrable también genera una medida de Borel no-negativa del mismo modo, sólo que esta medida no sería necesariamente finita.

Pero ojo, hay muchísimas más medidas de Borel (finitas o no) que no se generan de este modo, por ejemplo muchas medidas de Lebesgue-Stieltjes.

19 Febrero, 2020, 04:10 am
Respuesta #2

lindtaylor

  • Héroe
  • Mensajes: 1,315
  • País: cl
  • Karma: +0/-1
  • Sexo: Masculino
 

Pregunto esto ya que en el libro de Grafakos se menciona lo siguiente:

Como \(  f_{\epsilon}*u\in L^1 \), y \( L^1 \) está incrustado naturalmente en el espacio de medidas finitas de Borel, el cual es el espacio dual de \( C_{0} \) (las funciones continuas que se desvanecen en el infinito), se obtiene que la familia \( f_{\epsilon}*u \) permanece en un múltiplo de la bola unitaria de \( (C_0)^{\ast}. \) Por el teorema de Banach Alaoglu, esta es  un conjunto compacto débil estrella. Esto es, para algún \( \epsilon_{k} \) y todo \( g\in C_{0} \) se tiene \( \lim_{k} \int g(x)(f_{\epsilon_{k}}*u)(x)dx=\int g(x)d\mu(x). \)

No logro ver rigurosamente cada paso.

Si \( f_{\epsilon}*u\in L^1 \) entonces la medida \eta dada por \(  \eta(E)=\int_{E}(f_{\epsilon}*u)(x)dx \) está en \( \mathcal{B} \) el espacio de medidas finitas de Borel. Como \( \mathcal{B}=(C_{0})^{\ast}  \) entonces \( \|\eta\|_{\mathcal{B}}=\|\eta\|_{(C_{0})^{\ast}} \) pero no tiene mucho sentido tratar a la medida \eta como un funcional en \( (C_{0})^{\ast} \)... creo que estoy algo confundido.

En general, dado un espacio \( X \), si \( T\in X^{\ast}  \)su norma es \( \|T\|_{X^{\ast}}=\sup\left\{ |T(f)|: \|f\|_{X}\leq 1\right\} \)
....

19 Febrero, 2020, 05:59 am
Respuesta #3

lindtaylor

  • Héroe
  • Mensajes: 1,315
  • País: cl
  • Karma: +0/-1
  • Sexo: Masculino
Creo que ya lo he entendido con ayuda del apéndice en Conway, a course in analysis functional.

\( f_{\epsilon}*u\in L^1 \) entonces la medida \( \eta \) está en \( M(X) \) el espacio de medidas de Borel, con \( \eta(E)=\int_{E}(f_{\epsilon}*u)(x)dx \). (Se acostumbra la notación \( d\eta= fdx \) para indicar la medida anterior)


Por el teorema de Riesz,  hay un isomorfismo isométrico entre \( M(X)  \) y \( C_{0}(X)^{\ast} \) que viene dado por \( \mu \mapsto F_{\mu} \), con \( F_{\mu}(g)=\int g(x)d\mu(x).  \)

Como \( \left\|\eta\right\|_{M(X)}=\left\|F_{\eta}\right\|_{C_{0}(X)^{\ast}}=\sup_{\|g\|_{C_0(X)}\leq 1}\left|\int g(x)d\eta(x)\right|\leq \sup_{\|g\|_{C_0(X)}\leq 1}\|g\|_{\infty}\left|\int d\eta(x)\right|=\|g\|_{\infty}\left|\int (f_{\epsilon_{k}}*u)(x)dx\right|<\infty.
 \)
Lo anterior prueba que \( F_{\eta} \) está en un múltiplo de la bola unitaria de \(  C_{0}(X)^{\ast} \). Por Banach-Alaoglu, esta bola es estrella compacta, esto permite extraer una subsucesion \( F_{\eta_{k}} \) tal que converge débilmente a algún \( F_{\mu} \) con \( \mu \) alguna medida de Borel. Es decir, para todo \( g\in C_{0}(X),\ \lim_{k} F_{\eta_{k}}(g)=F_{\mu}(g) \), o equivalentemente \( \lim_{k} \int g(x)(f_{\epsilon_{k}}*u)(x)dx=\int g(x)d\mu(x). \)

Pero me queda una duda. ¿Por qué se debe usar "algún \( \epsilon_{k}\to 0 \)" ?



 
....