Autor Tema: Demostración de inclusión.

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14 Enero, 2020, 09:24 am
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Sintesis

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Tengo que demostrar esta fórmula, pero me trabo en la última parte, sé que la diferencia es un caso que hace verdadero a la unión, pero no sé como llegar a la diferencia a partir de ahí.  ???

\(
(A - B) - C \subset{A-(B-C)}
 \)

\( 1. (A-B) - C \)            hipótesis
\( 2. (A\cap{B^c}) \cap{C^c} \)         Def. diferencia
\( 3. A\cap{(B^c\cap{C^c)}}  \)         Asociatividad de la intersección.
\( 4. A\cap{(B\cup{C})^c} \)              DM
\( 5. A - (B\cup{C}) \)                  Def. diferencia.

14 Enero, 2020, 11:16 am
Respuesta #1

feriva

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Hola.

Te doy una idea esquemática, a ver si te ayuda.

EDITADO

Se tiene que \( (A-B)-C=A-(B\cup C)
   \).

También vemos que \( x\in(B-C)\Rightarrow x\in B
   \); luego \( (B-C)\subset(B\cup C)
  \).

Ahora basta ver que el cardinal de B unión C es mayor o igual: \( card(B\cup C)\geq(B-C)
   \), con lo que

\( card(A-(B\cup C))\leq card(A-(B-C))
  \) y, por tanto, a partir de los dos razonamientos anteriores, tendremos

\( (A-(B\cup C))\subset(A-(B-C))
   \); o sea:

\( ((A-B)-C)\subset A-(B-C)
   \).
Saludos.

14 Enero, 2020, 03:00 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola feriva, buenas tardes!

Quería saber cómo se define al operador \( + \) entre los conjuntos \( B \) y \( C \).

Gracias y saludos

14 Enero, 2020, 04:16 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola feriva, buenas tardes!

Quería saber cómo se define al operador \( + \) entre los conjuntos \( B \) y \( C \).

Gracias y saludos

Me he equivocado, Manooooh, lo que quería poner era unión. Recordaba que era equivalente y se podía usar el signo, pero no lo encuentro, así que debe de ser un recuerdo equivocado. Sí que encuentro en uno de mis libros antiguos la suma booleana, que se puede (o antiguamente se podía) escribir con “+”, pero es lo mismo que la diferencia simétrica, no es la unión.

Gracias.

Saludos.

14 Enero, 2020, 08:51 pm
Respuesta #4

Sintesis

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Gracias por la ayuda, el operador + se usa para uniones disjuntas en probabilidades según tengo entendido.


17 Enero, 2020, 07:55 am
Respuesta #5

Sintesis

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¿Existe alguna ley para la deducción natural para definir la disyunción como todos los casos posibles que hacen la hacen verdadera con otras disyunciones?

Pensé en esta otra solución pero no se si es correcta.

\( 6. A-(x\in{B} \vee x\in{C}) \)           Def. Union.
\( 7. A-((x\in{B} \wedge x\in{C}) \vee (x\in{B} \wedge x\not\in{C}) \vee (x\not\in{B} \wedge x\in{C})) \)    ?, I
\( 8. A-((x\in{B} \wedge x\in{C})^c \wedge (x\in{B} \wedge x\not\in{C})^c \wedge (x\not\in{B} \wedge x\in{C})^c)^c \)     DM
\( 9. A-((x\in{B} \wedge x\not\in{C})^c)^c \)        SIMP, I
\( 10. A-(x\in{B} \wedge x\not\in{C}) \)     Complemento de un complemento. (Algo como la doble negación en lógica).
\( 11. A-(B\cap{C^c}) \)     Def. interseccion.
\( 12. A-(B-C) \)     Def. diferencia.

17 Enero, 2020, 12:11 pm
Respuesta #6

feriva

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¿Existe alguna ley para la deducción natural para definir la disyunción como todos los casos posibles que hacen la hacen verdadera con otras disyunciones?

Pensé en esta otra solución pero no se si es correcta.

\( 6. A-(x\in{B} \vee x\in{C}) \)           Def. Union.
\( 7. A-((x\in{B} \wedge x\in{C}) \vee (x\in{B} \wedge x\not\in{C}) \vee (x\not\in{B} \wedge x\in{C})) \)    ?, I
\( 8. A-((x\in{B} \wedge x\in{C})^c \wedge (x\in{B} \wedge x\not\in{C})^c \wedge (x\not\in{B} \wedge x\in{C})^c)^c \)     DM
\( 9. A-((x\in{B} \wedge x\not\in{C})^c)^c \)        SIMP, I
\( 10. A-(x\in{B} \wedge x\not\in{C}) \)     Complemento de un complemento. (Algo como la doble negación en lógica).
\( 11. A-(B\cap{C^c}) \)     Def. interseccion.
\( 12. A-(B-C) \)     Def. diferencia.


Hola.

No sé decirte, a ver si alguien que sepa más te comenta.

Lo que sí puedo es desarrollar un poco lo que había usado.

1ª:

\( (A\cap B^{c})\Rightarrow x\in A\wedge x\in B^{c}\Rightarrow
  \)

\( (A\cap B^{c})\cap C^{c}\Rightarrow x\in A\wedge x\in B^{c}\wedge x\in C^{c}
  \)

y por Morgan

\( x\in B^{c}\wedge x\in C^{c}\Rightarrow x\in(B^{c}\cap C^{c})\Rightarrow x\in(B\cup C)^{c}
  \)

o sea, \( x\in A\wedge x\notin(B\cup C)\Rightarrow
  \)

\( x\in A-(B\cup C)
  \)

Es decir, que consideramos \( (A-B)-C=A-(B\cup C)
  \); es de donde partía. Por eso decía que era una idea “esquemática”, en el sentido de que quizá necesitaría desarrollarse un poco todo.

Saludos.