Autor Tema: El Baricentro de una Órbita

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13 Enero, 2020, 02:12 pm
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MasLibertad

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Hola a todos.
Acabo de publicar en mi página una herramienta JavaScript para calcular varios datos de dos cuerpos en el espacio, principalmente, la Fuerza de Atracción, y la Velocidad y la Duración de su órbita.
Podeis verla en Calcular Órbitas Planetarias

También me ha parecido interesante calcular el Baricentro, el centro de gravedad común de ambos cuerpos.
Y aquí es donde me he encontrado un error, ojalá pudierais decirme dónde.
Primero he intentado calcular el Baricentro por mis propios medios y razonamientos.
Si un satélite estuviese a 150 Gm de la Tierra, orbitaría a 51 m/s y tardaría 580 años en hacerlo. No importa la masa del Satélite, puede pesar un Kg, mil Toneladas o, como la Luna, 73 Trillones de Toneladas.
¿Y si tuviese la masa del Sol, 2 Quintillones de Kg?
Pues... también. No veo ninguna razón para que no sea así.
Suponiendo que la Tierra, por alguna extraña razón, fuera inamovible, cualquier cuerpo que estuviese a 150 Gm debería orbitar la Tierra a 51 m/s en 580 años.
Pero la Tierra no es inamovible, sino que orbita alrededor del Sol, y lo hace en un año, así que la atracción Tierra-Sol se verifica cada día en una dirección diferente, por lo que la órbita del Sol se cierra en un año dejando un radio mucho más pequeño que la órbita de la Tierra.
Pero si el Sol viaja a 51 m/s, al cabo de un año, 31'5 Millones de segundos, habrá recorrido 1600 Megametros. El radio de este recorrido sería unos 256 Megametros. Lo cual sería DENTRO de la Masa Solar, tal como esperaba.
Pero al rehacer los mismos cálculos para el Baricentro de la Tierra, me salió una distancia de 42 Mm, muy por encima de la Tierra, a más de un décimo de la distancia a la Luna.
Y aquí vi que debía haber cometido un error, porque yo sabía de antes que el Baricentro Tierra-Luna está a unos 4.670 Km del centro de la Tierra, DENTRO de la masa terrestre.
Tras intentar ver el fallo de mis cálculos y no conseguirlo, busqué la fórmula para calcular el Baricentro.
Y ésta sí me da el resultado que esperaba para la Tierra, por lo que supongo que también lo dará en todos los casos.
Lo que no acabo de entender, ojalá podáis aclarármelo, ¿en qué punto de mi razonamiento me he equivocado?

Gracias de antemano.
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

14 Enero, 2020, 03:11 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
También me ha parecido interesante calcular el Baricentro, el centro de gravedad común de ambos cuerpos.

Hola, No es lo mismo baricentro que centro de gravedad de un cuerpo,  hay varias diferencias, pero la principal es que la densidad puede no ser constante. Pero si haces una aproximación y tomas las masas como puntuales deberán entonces coincidir.

Si un satélite estuviese a 150 Gm de la Tierra, orbitaría a 51 m/s y tardaría 580 años en hacerlo. 

Tu calculo es correcto si consideras que \( v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \)

pero esto tiene sus limitaciones,
  • estas considerando órbitas circulares no elipticas
  • y esa ecuación es correcta solo si la masa de la tierra es mucho mayor que la del objeto de prueba, en realidad tanto la tierra como el objeto orbitan el centro de masas común con la misma velocidad angular

No importa la masa del Satélite, puede pesar un Kg, mil Toneladas o, como la Luna, 73 Trillones de Toneladas.
¿Y si tuviese la masa del Sol, 2 Quintillones de Kg? 

Como te habrás dado cuenta ya, que el CM del sistema Tierra-cuerpo cambia si el cuerpo tiene una masa de  gramos, a toneladas , millones de toneladas, y que estará dentro del sol si este tiene una masa 333000 veces mayor que la de la tierra. Es de esperar que no veamos rotar al sol respeto de la tierra, si no el revés....



Suponiendo que la Tierra, por alguna extraña razón, fuera inamovible, cualquier cuerpo que estuviese a 150 Gm debería orbitar la Tierra a 51 m/s en 580 años.
Pero la Tierra no es inamovible, sino que orbita alrededor del Sol, y lo hace en un año, así que la atracción Tierra-Sol se verifica cada día en una dirección diferente, por lo que la órbita del Sol se cierra en un año dejando un radio mucho más pequeño que la órbita de la Tierra.

Interpreto que estas haciendo la comparación de lo que debería ser la órbita del sol alrededor de la tierra, pero esto no sucede así, cualquier objeto a 150Gm de la tierra también está solicitado por la gravedad del sol, luego no girara entorno a la tierra, sino más bien a  una combinación de ambas masas, pero como la del sol es mayor girará en torno a este, desviándose imperceptiblemente cuando pase por la cercanía de la tierra, y es claro que un sistema de tres cuerpos no produce órbitas circulares.

Pero si el Sol viaja a 51 m/s, al cabo de un año, 31'5 Millones de segundos, habrá recorrido 1600 Megametros. El radio de este recorrido sería unos 256 Megametros. Lo cual sería DENTRO de la Masa Solar, tal como esperaba.

mmm no es muy claro la deducción que propones, pero si te digo que el CM del sistema tierra sol esta dentro del propio sol, es más el CM de todo el sistema solar, está dentro del propio sol. Por lo que solo visto desde muy lejos se lo vera bambolearse casi inapreciablemente de su propio centro.


Pero al rehacer los mismos cálculos para el Baricentro de la Tierra, me salió una distancia de 42 Mm, muy por encima de la Tierra, a más de un décimo de la distancia a la Luna.

Aquí no te sigo, cualquier la distancia al centro de masas común entre dos cuerpos surge de la conservación del momento lineal y angular

\( mr_m+Mr_M=0 \)

si \( d \) es la separación entre ellos \( d=r_m+r_M \)

de dónde llegas a la fórmula que propusiste para la distancia al centro de masas desde el centro de cualquiera de los dos cuerpos

\( r_m=d\dfrac{1}{1+\frac{m}{M}} \)

\( r_M=d\dfrac{1}{1+\frac{M}{m}} \)


Lo que no acabo de entender, ojalá podáis aclarármelo, ¿en qué punto de mi razonamiento me he equivocado?

Como lo ves ahora,

recuerda que para calcular el periodo de rotación de  un sistema de dos cuerpos debes usar la tercera ley de Kepler

\( \dfrac{T^2}{a^3} \ (M+m)=\dfrac{4\pi^2}{G} \)

donde \( a \) es el semieje mayor de la órbita , y si la supones circular entonces \( a\cong d \)

o como dice la wikipedia

Donde \( M \) es la masa del cuerpo central y \( m \) la del astro que gira en torno a él.

Como en el Sistema Solar la masa del Sol es muy superior a la de cualquier planeta, \( m \ll M  \) y la expresión simplificada se obtiene de la más general haciendo \( M+m \simeq M \)

para los cálculos de gravedad debes calcular la masa reducida del sistema que es

\( \dfrac{1}{\mu_{(Mm)}}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{M} \)

y la fuerza de gravedad , o los cálculos de velocidades angulares debes hacerlos con

\( \mu_{(Mm)}\dfrac{\partial^2 \vec r}{\partial t^2}=-\dfrac{GMm}{|r|^2}\hat r \)

donde \( \hat r \) es el versor unitario en la dirección radial entre centros.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

14 Enero, 2020, 11:49 am
Respuesta #2

MasLibertad

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Hola de nuevo

Lo primero de todo, gracias Richard, por tu extensa respuesta.

El caso es que anoche, al irme a la cama, me di cuenta de donde estaba el fallo de mi razonamiento, y esta mañana lo he confirmado y ya he publicado la corrección en mi página.

La respuesta es sencilla:

Si la Tierra estuviese, por arte de magia, totalmente inmóvil en el espacio, cualquier cuerpo situado a 150 Gm, sea una piedra, la Luna o el Sol, acelerarían hasta chocar con la Tierra, al cabo de unos 100 años, a una velocidad de unos 50 m/s.
Sería una aceleración MUY lenta, del orden de cienmillonésimas de m/s, por eso haría falta más de un siglo para alcanzar esa velocidad.
Pero la Tierra no está inmóvil, sino que recorre una enorme elipse alrededor del Sol. La Fuerza con la que la Tierra atrae al Sol (que es la misma con la que el Sol atrae a la Tierra) sólo actúa durante seis meses desde una dirección antes de pasar a la dirección opuesta, y en esos seis meses el Sol apenas llega a alterar su velocidad en unos pocos cm/s antes de empezar a acelerar en dirección contraria.

Una vez comprendido ésto he añadido en mi Calculadora de Órbitas Planetarias el cálculo de la distancia al Baricentro y de la Velocidad del Sol alrededor del Baricentro, y excepto en los casos de Júpiter (12'4 m/s) y Saturno (2'7 m/s) todos los demás planetas alteran la posición del Sol a escasos cm/s.

De nuevo, gracias por vuestro interés y ayuda.

Juan
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