Autor Tema: Medida de probabilidad

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13 Enero, 2020, 08:11 am
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Julio_fmat

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Considere el espacio medible \( ((0,1), \mathcal{B}(0,1)). \) Demuestre que \( P \) es una medida de probabilidad. Para cada \( A\in B(0,1) \) defina:

a) \( P(A)=\displaystyle\int_A 2x dx \).
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

14 Enero, 2020, 04:03 am
Respuesta #1

Julio_fmat

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Hola, hice este desarrollo, no se si está bien. Tenemos que

1) \( P((0,1))=\displaystyle\int_0^1 2xdx=2\cdot \dfrac{1}{2}x^2|_0^1=1-0=1 \)

2) \( P(A)=\displaystyle\int_A f(x)dx=\displaystyle\int_0^1 2xdx\ge 0 \)

3) \( P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\displaystyle\int_{\cup_{n=1}^{\infty}A_n}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\displaystyle\int_{A_i}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) \)

Así, por 1), 2) y 3), \( P \) es una medida de probabilidad.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

14 Enero, 2020, 04:22 am
Respuesta #2

Masacroso

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Hola, hice este desarrollo, no se si está bien. Tenemos que

1) \( P((0,1))=\displaystyle\int_0^1 2xdx=2\cdot \dfrac{1}{2}x^2|_0^1=1-0=1 \)

2) \( P(A)=\displaystyle\int_A f(x)dx=\displaystyle\int_0^1 2xdx\ge 0 \)

3) \( P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\displaystyle\int_{\cup_{n=1}^{\infty}A_n}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\displaystyle\int_{A_i}f(x) dx=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) \)

Así, por 1), 2) y 3), \( P \) es una medida de probabilidad.

El punto 1) está bien. El 3) está bien siempre y cuando sea una unión disjunta. Y el 2) tal y como lo has escrito no tiene sentido si \( A \) es cualquier conjunto medible de \( (0,1) \), lo que quieres demostrar es que

\( \displaystyle{
0\leqslant \int_{A}f(x)\,\mathrm d x\leqslant \int_{(0,1)}f(x)\,\mathrm d x
} \)

lo cual se sigue del hecho de que

\( \displaystyle{
\int_{A}f(x)\,\mathrm d x=\int_{(0,1)}\mathbf{1}_{A}(x)f(x)\,\mathrm d x
} \)

y de que en tu caso \( 0\leqslant \mathbf{1}_{A}(x)f(x)\leqslant f(x) \) para todo \( x\in (0,1) \) (ya que \( f(x)=2x \)), y de la propiedad de la integral de Lebesgue

\( \displaystyle{
f\leqslant g \text{ casi en todas partes }\implies \int f\leqslant \int g
} \)
para funciones integrables cualesquiera \( f \) y \( g \).