Autor Tema: Extremos condicionados

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12 Enero, 2020, 09:37 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Tengo la función \( f(x,y)=y^3-x^2 \) restringida a \( B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+3y^2\leq 3\} \).

Calculando los extremos absolutos y relativos condicionados, salen:

\( f(0,0)=0 \), punto de silla.
\( f(\sqrt{3},0)=-3 \), mínimo absoluto.
\( f(-\sqrt{3},0)=-3 \), mínimo absoluto.
\( f(0,1)=1 \), máximo absoluto.
\( f(0,-1)=-1 \), "máximo relativo", que a priori no lo sé. Para hacer la clasificación de los mínimos y los máximos, he comparado los valores que la función toma en esos puntos. Pero no tengo un criterio que me diga los relativos. Hasta que no he visto el gráfico, no he podido ver que la función tiene un máximo relativo en (0,-1). ¿Existe alguna forma más o menos directa de ver esto, por inspección o algo? Saludos.



Código: [Seleccionar]
Show[ContourPlot3D[
  y^3 - x^2 - z == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -3.1, 2}],
 ContourPlot3D[{x^2 + 3*y^2 - 3 == 0, y^3 - x^2 - z}, {x, -2,
   2}, {y, -2, 2}, {z, -3.1, 2}, Contours -> {0},
  ContourStyle -> None, Mesh -> None,
  BoundaryStyle -> {1 -> None, 2 -> None, {1, 2} -> {{Thick, Blue}}}],
  Graphics3D[
  Sphere[{{0, 0, 0}, {Sqrt[3], 0, -3}, {-Sqrt[3], 0, -3}, {0, 1,
     1}, {0, -1, -1}}, 0.1]]]

13 Enero, 2020, 04:49 pm
Respuesta #1

Masacroso

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No se ve claro en la imagen que \( (0,-1) \) sea un extremo relativo de la función, y si lo fuese debería cumplir que \( \nabla f(0,-1)=0 \), pero no es así, así que no puede ser un máximo relativo.

13 Enero, 2020, 05:28 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Me he dado cuenta de que sale muy fácil si se usa el método descrito en https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange, apartado "Criterio de la derivada segunda para extremos con restricción", con el determinante de la matriz de Hesse limitada.

Gracias,

Saludos.

13 Enero, 2020, 05:52 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Me he dado cuenta de que sale muy fácil si se usa el método descrito en https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange, apartado "Criterio de la derivada segunda para extremos con restricción", con el determinante de la matriz de Hesse limitada.

Gracias,

Saludos.

Oh, ya veo, es un punto en la frontera, no un punto interior. Entonces no necesariamente debe cumplir la condición de mi anterior mensaje.