Autor Tema: Conjunto de primos asociados unitario

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10 Enero, 2020, 07:25 am
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malboro

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Hola.

Dados  \( P\in Spec(A) \),  \( M\neq\{0\} \). Entonces \( Ass(M)=\{P \} \) sí y solo si \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \) es nilpotente, para cada \( x\in P \).
Prueba:

Para la ida usamos http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta es lo que no me queda claro.

CORREGIDO ENLACE.
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

10 Enero, 2020, 05:57 pm
Respuesta #1

geómetracat

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El enlace que has puesto no me funciona. Pongo un enlace nuevo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta, tal y como la enuncias me parece que es falsa. Por ejemplo, si consideras el anillo \( A=k[x,y]/(y^2,xy) \), los primos asociados de \( A \) como \( A- \)módulo son \( Ass(A) = \{(y), (x,y) \} \). Como \( (y) \subseteq (x,y) \), tienes que \( \bigcap_{P \in Ass(A)} P = (y) \) y por el teorema del enlace, todo \( x \in (y) \) cumple que \( x_A \) es nilpotente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Enero, 2020, 08:18 pm
Respuesta #2

malboro

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Es el corolario de la proposición 8, página 9, del libro Local Álgebra, autor Jean PIERRE SERRE.

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

10 Enero, 2020, 08:33 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Ya veo. Queda un poco ambiguo tal como lo escribe Serre, pero creo que lo que quiere decir es:
\( Ass(M)= \{P \} \) si y solo si \( x_M \) es nilpotente para todo \( x \in P \) y además \( x_M \) es inyectivo para todo \( x \notin P \).

Entonces, para hacer la vuelta, por un lado del teorema del enlace tienes que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \). Por otro lado, ningún \( x \notin P \) puede pertenecer a ningún primo asociado, pues si lo hiciera tendrías que hay un \( m \in M \) tal que \( xm = 0 \) y \( x_M \) no sería inyectiva, en contra de la hipótesis. Así pues, \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \) y ningún elemento fuera de \( P \) pertenece a un primo asociado, lo que implica que \( Ass(M)=P \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Enero, 2020, 06:02 am
Respuesta #4

malboro

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Gracias Geómetracat.
Lo que consigo es que  \( P =\displaystyle\bigcap_{Q\in{Ass(M)}}^{}{Q} \). pero porqué \( P \) es un primo asociado y único?

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

19 Enero, 2020, 11:31 am
Respuesta #5

geómetracat

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Bien, vamos a hacerlo con más detalle. Del teorema tenemos que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \). Supongamos que existe algún \( Q \) que es primo asociado y distinto de \( P \). Como \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \), necesariamente tenemos \( P \subset Q \).
Entonces existe un \( x \in Q - P \), y por hipótesis tenemos que \( x_M \) es inyectivo. Pero esto quiere decir que para todo \( x\in M \) no nulo \( xm \neq 0 \), y esto contradice el hecho de que \( Q \) es primo asociado (pues todo primo asociado es el anulador de algún elemento no nulo de \( M \)).

Por tanto, el único primo que puede ser primo asociado de \( M \) es \( P \). Pero \( P \) es en efecto un primo asociado porque tenemos que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \) (en particular \( Ass(M) \neq \emptyset \)) y acabamos de ver que ningún otro primo puede ser asociado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Enero, 2020, 04:04 am
Respuesta #6

malboro

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Muchas gracias Geómetracat.
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.