Autor Tema: Ver que una serie de funciones no converge uniformemente

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09 Enero, 2020, 07:20 pm
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Juan Sánchez

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Me piden calcular la suma de la serie \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^n}} \) y ver que no converge uniformemente en \( \mathbb{R} \).

Ya he calculado la suma, es \( 1+x^2 \) para \( \displaystyle\frac{1}{1+x^2}<1 \). Ahora para ver que una serie de sucesión de funciones converge uniformemente nos han enseñado a utilizar el criterio M de Weierstrass, pero no se qué hacer para ver que NO converge uniformemente.

Por si sirve, he visto que \( \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \) toma su valor máximo en \( 1/\sqrt[ ]{n-1} \)

10 Enero, 2020, 12:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Me piden calcular la suma de la serie \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^2}{(1+x^2)^n}} \) y ver que no converge uniformemente en \( \mathbb{R} \).

Ya he calculado la suma, es \( 1+x^2 \) para \( \displaystyle\frac{1}{1+x^2}<1 \). Ahora para ver que una serie de sucesión de funciones converge uniformemente nos han enseñado a utilizar el criterio M de Weierstrass, pero no se qué hacer para ver que NO converge uniformemente.

Por si sirve, he visto que \( \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \) toma su valor máximo en \( 1/\sqrt[ ]{n-1} \)


Hay varias maneras, una es ver si existe un valor para el cual la serie no converge (ya que te piden convergencia en todo \( \Bbb R  \)).

Otra manera es ver si la serie converge puntualmente a una función discontinua, por tanto su convergencia no puede ser uniforme porque es el límite puntual de funciones continuas (y si fuese convergencia uniforme entonces el límite puntual definiría una función contínua).

Otra es utilizar la definición de no convergencia uniforme, que es la negación lógica de convergencia uniforme, es decir si la definición de convergencia uniforme en un conjunto \( D \) es

\( \displaystyle{
\forall \epsilon >0,\,\exists N\in \Bbb N ,\, \forall x\in D,\, \forall  n\geqslant N : |f_n(x)-f(x)|<\epsilon
} \)

entonces su negación lógica es

\( \displaystyle{
\exists \epsilon >0,\,\forall N\in \Bbb N,\, \exists x\in D,\, \exists n\geqslant N: |f_{n}(x)-f(x)|\geqslant \epsilon
} \)

Es decir: para demostrar la NO convergencia uniforme puedes buscar un \( \epsilon >0 \) y una sucesión \( (x_N) \) tal que \( |f_{n_N}(x_N)-f(x_N)|\geqslant \epsilon  \) para una subsucesión \( (n_N)_N \) en \( \Bbb N  \).



En tu caso es suficiente utilizar la segunda forma, es decir, observar que la función límite es discontinua, por tanto la convergencia no puede ser uniforme. Para ver esto observa que

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 0}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}=\begin{cases}
1+x^2,&x\neq 0\\
0,&x=0
\end{cases}
} \)