Autor Tema: Longitud mínima de un cable sobre un cilindro.

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09 Enero, 2020, 01:23 am
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zimbawe

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Hola, me pueden echar una mano con este ejercicio, no puedo interpretarlo ¿Algún bosquejo que aporte alguna idea? Mil gracias.
Un cable tiene radio r y longitud L, y está enrollado en un cilindro de radio R sin que se traslapen ¿Cuál es la longitud más corta en el cilindro que queda cubierta con el cable?

09 Enero, 2020, 04:29 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Observa que el cable tiene una línea central, para que el cable cubra la menor longitud del cilindro, ha de estar apretado, esto significa que en cada espira del cable, la línea central tiene como primera parte, una semicircunferencia y la segunda parte es un elemento de una hélice cílindrica con un avance 2r correspondiente a una rotación \( \pi \), ojo el PASO de la hélice será \( 4r \) y el radio de la hélice es \( R+r \). La longitud de la espira (ojo no toda la espira es hélice, solo la segunda parte) se puede calcular y en consecuencia se puede hallar el número de espiras  y sabiendo que cada espira cubre 4r del cilindro, se halla la longitud de cilindro, cubierta por el cable.

Saludos

Nota : En un caso real el número de espiras puede ser fraccionario; pero se puede analizar


Saludos

09 Enero, 2020, 04:56 am
Respuesta #2

zimbawe

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Muchas gracias Delmar, pero ¿a qué le llamas línea central? Sigo sin entender.

10 Enero, 2020, 04:43 am
Respuesta #3

delmar

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Se puede imaginar al cable desenrollado, recto, como un cilindro de radio r y longitud L, la línea central del cable es el eje del cilindro.

Saludos

11 Enero, 2020, 04:28 am
Respuesta #4

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola,el paso de la hélice es   \( 2r \) o un diámetro del cable.
Si das una vuelta al cilindro consumes 2\pi(R+r) de cable y avanzas  2radios o un diámetro de cable en dirección del eje del cilindro.

La longitud de cilindro que cubres es
\( Lc=L\dfrac{2r}{2\pi(R+r)} \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

14 Enero, 2020, 04:30 am
Respuesta #5

delmar

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Para aclarar. El alambre enrollado sobre el cilindro, constituye  espiras, la línea central del cable  con la condición de que no se traslape el cable , se  presenta también como espiras  de dos maneras cuyos desarrollos se muestran.



En el esquema superior, se muestra el desarrollo de una espira de la línea central, es la línea roja, es una hélica cílidrica, cuyo paso es 2r, es el avance al dar una vuelta completa. Los círculos representan las secciones del cable y en efecto no se traslapa (círculo en C es tangente al círculo negro). El desarrollo de una espira es un segmento por que el avance es uniforme respecto al ángulo de rotación.

En el esquema inferior, se muestra el desarrollo de una espira de la línea central también de color rojo; pero esta espira tiene dos partes, la primera parte es una semicircunferencia (A'-B') y la segunda parte (B'-C') es media vuelta de una hélice cílindrica de paso 4r, ese es el avance de la hélice en una vuelta completa. Como en el caso anterior el cable tampoco se traslapa.

En ambas esquemas el avance es 2r; se cubrirá lo menos posible del cilindro, cuando se consuma mayor  longitud de cable por espira. ¿En cuál de los casos se consume mayor longitud de cable? Obviamente en el esquema inferior, en consecuencia es la solución. Ya el cálculo de longitud cubierta de cilindro, se hace utilizando fórmulas, salvo que se quiera hacer toda la deducción de la longitud de la hélice, lo que también se puede hacer.

Es de notar que el esquema superior es solución también cuando se consideran únicamente, líneas centrales, que sean caminos regulares (la hélice cílindrica es una curva regular); pero sino se pone esta condición el esquema inferior es la respuesta, es obvio que el esquema inferior corresponde a una línea regular a trozos.

Saludos


15 Enero, 2020, 01:29 am
Respuesta #6

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
es media vuelta de una hélice cílindrica de paso 4r, ese es el avance de la hélice en una vuelta completa.

fijate que la distancia entre centro y centro de soga, en cada vuelta  tiene una distancia mínima de 2r, de hecho el paso se puede hace tan grande como se quiera sin traslapar, pero 2r es el mínimo.

si desarrollas un vuelta de soga en el cilindro verás que la longitud de una vuelta , haciendo una hélice, es

\( L_{vH}=\sqrt{(2\pi(R+r))^2+(2r)^2} \)

la longitud que avanza la hélice es

\( d=(\dfrac{L}{L_{vH}}+1)2r \)

llevando al extremo lo que propones avanzar de a trozos, podemos plantear giros a 90° para saltar de línea en línea sin cortar la soga




\( L_{vT}=(2\pi(R+r)-r)+2r+r=2\pi(R+r)+2r \)

y la longitud cubierta es

\( d=(\dfrac{L}{L_{vT}}+1)2r \)

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)