Las ecuaciones que se cumplen para el choque son :
\( L=v_0 \ cos \alpha (\tau-t_0) \) Ec. 3
\( H-\displaystyle\frac{k}{6} \ \tau^3=v_0 \ sen \alpha (\tau-t_0)-\displaystyle\frac{g(\tau-t_0)^2}{2} \) Ec. 4
De la Ec. 3 obtenemos :
\( \tau-t_0=\displaystyle\frac{L}{v_0 \ cos \alpha} \) Ec. A
Sustituyendo esta expresión en la Ec. 4 se obtiene :
\( H-\displaystyle\frac{k}{6} \ \tau^3=v_0 \ sen \alpha (\displaystyle\frac{L}{v_0 \ cos \alpha})-(\displaystyle\frac{g}{2}) \ (\displaystyle\frac{L}{v_0 \ cos \alpha})^2 \)
Despejando \( \tau^3 \) se tiene :
\( \tau^3=(\displaystyle\frac{6}{k}) \ (H-L \ tag \alpha+\displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}) \) Ec. B
Para que esto tenga sentido la expresión de la derecha ha de ser positiva \( \tau>0 \) esto implica :
\( H-L \ tag \alpha+\displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}>0 \)
Es conveniente considerar dos situaciones referidas al ángulo :
I)\( H-L \ tag \alpha\geq{0} \) esto implica \( tag \alpha\leq{\displaystyle\frac{H}{L}} \)
II)\( H-L \ tag \alpha<0 \) esto implica \( tag \alpha>\displaystyle\frac{H}{L} \)
En la situación I, siempre \( \tau>0 \); pero en la situación II, hay que analizar.
Pero \( \tau>0 \), no es la única condición que ha de cumplirse para tengan sentido los resultados. La otra condición ya se ha mencionado \( t_0\geq{0}\Rightarrow{\tau-\displaystyle\frac{L}{v_0 \ cos \alpha}\geq{0}}\Rightarrow{\tau^3\geq{\displaystyle\frac{L^3}{v_0^3 \ cos^3 \alpha}}} \) Inec. A. Esto ha de estudiarse para I y II
Solamente para mostrar un avance más.
Dividiendo la situación I en :
I.1 \( H-L \ tag \alpha=0 \)
I.2 \( H-L \ tag \alpha>0 \)
Para el caso I.1
La Inec. A implica : \( (\displaystyle\frac{6}{k}) \ (\displaystyle\frac{gL^2}{2v_0^2 \ cos^2 \alpha})\geq{\displaystyle\frac{L^3}{v_0^3 \ cos^3 \alpha}}\Rightarrow{v_0\geq{\displaystyle\frac{kL}{3gcos \alpha}}} \)
Demás esta decir que \( \alpha=arctan(\displaystyle\frac{H}{L}) \). De este dato se puede poner el \( cos \alpha \) en función de H y L
Creo que ya se puede desarrollar para el caso I.2 y el caso II
Mi sugerencia de revisar el enunciado, viene precisamente de que el análisis es extenso y sinceramente pienso que considerar una aceleración constante del helicóptero, afianza mejor al alumno en el aspecto físico del problema.
Saludos
