Esta cadena pertenece a \( L_2 \) y además \( |w|=2n_0+1\geq n_0 \). Por el lema de bombeo, \( w=xyz \) con
- \( |xy|\leq n_0 \)
- \( y\ne \epsilon \)
- \( xy^mz\in L_2,\forall m\in \mathbb{N} \)
Como \( |xy|\leq n_0 \), entonces \( x=a^p,y=a^q \) con \( p+q\leq n_0 \) y \( q>0 \) (lo que es muy importante). Entonces:
\( w=a^pa^qa^{n_0-(p+q)}ba^{n_0},\quad x=a^p,\quad y=a^q,\quad z=a^{n_0-(p+q)}ba^{n_0} \)
Nota ahora que por el punto 3 del lema de bombeo, \( xy^mz\in L_2 \) para todo entero positivo \( m \), es decir, puedes bombear letras \( a \) antes de la \( b \) que las cadenas resultantes seguirán perteneciendo a \( L_2 \). Pero esto es absurdo, porque entonces llegaría un punto que la cantidad de letras \( a \) antes de la \( b \) es mayor que la cantidad de letras \( a \) después de la \( b \), lo que contradice la definición de \( L_2 \).
