Autor Tema: Funciones elípticas de Jacobi. Cálculo

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02 Enero, 2020, 01:39 pm
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Arturo Gómez

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En problemas de ecuaciones diferenciales, como la de osciladores cúbicos las soluciones son del tipo funciones elípticas de Jacobi.
El seno elíptico se define como la inversa de la integral elíptica de primera espécie \( F(x,k)=\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} \) Esto es, \( sn(u,k) \) es aquel valor de x para el cual la integral toma el valor u.
Equivalentemente, \( sn(u,k)=\sen\phi \) onde \( \phi \) é a inversa da mesma integral com mudança de variável \( \displaystyle\int_{0}^{\phi}\displaystyle\frac{dt}{\sqrt{(1-k^2\sen^2t)}} \).

Para mejorar la intuición de la definición, observar que si \( k=0 \) es el seno trigonométrico.
No he encontrado esta función en los soft de cálculo básicos, sólo en calculadores de internet que dan valor por valor. Pienso que tal vez matlab la tenga implementada.

Lo que hice para obtener estas tablas en la computadora, que me coinciden com los valores de la calculadora de internet:

1) Runge Kutta aplicado a la ecuación diferencial original para obtener soluciones numéricas
2) Newton Raphson para tener los valores puros de \( sn(u,k) \), aprovechando que tenemos explícita la expresión de la derivada.

17 Marzo, 2020, 03:57 pm
Respuesta #1

Arturo Gómez

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Agrego: eventualmente tendremos una família de funciones elípticas donde el o los parâmetros están operando dentro del parâmetro \( k \). Si necessitamos derivar con respecto al parâmetro, necessitamos la derivada parcial con respecto a \( k \). No he encontrado en la literatura nada sobre esta eventual derivada, pero se me ocorre que siempre que estemos dentro de un intervalo adecuado de \( u \) tenemos un desarrollo por Taylor, y ese desarrollo es un polinômio en \( u,k \) que podemos derivar y deducir propriedades en tanto podamos assegurar la convergência.