Autor Tema: Diferencial del cambio de coordenadas del fibrado tangente

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28 Diciembre, 2019, 09:23 pm
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GMat

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¡Saludos! Me gustaría solicitar su ayuda con lo siguiente:

Estaba probando que el fibrado tangente \( TM \) es orientable sin importar si la variedad \( M \) lo es, para ello consideré el cambio de cartas en el fibrado \( (x_1,\ldots,x_n)\rightarrow((\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(x_1,\ldots,x_n),d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta)(v_1,\ldots,v_n)) \). Al escribirlo de esa forma el resultado sera una matriz dividida en 4 bloques. en el primer bloque quedaría la derivada de \( \phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( (x_1,\dots,x_n) \) que será precisamente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) y el segundo bloque (el \( A_{12} \)) sera \( 0 \) ya que es el resultado de derivar \( d\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \).

Mi duda viene al derivar \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) con respecto a las coordenadas \( v_1,\ldots,v_n \), Esta derivada debe de ser simplemente \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) ahora bien, ¿Esto se debe porque al definir la diferencial sobre \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) lo hacemos sobre el punto \( v=(v_1,\ldots,v_n) \) y esto hace que el operador \( d(d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta))_v(v_1,\ldots,v_n) \) es la identidad?

Gracias de antemano por la ayuda que puedan brindarme.

29 Diciembre, 2019, 11:27 am
Respuesta #1

geómetracat

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Primero, una nota sobre nomeclatura. Lo que tú quieres probar es que dada cualquier variedad \( M \) entonces el fibrado tangente \( TM \), visto como variedad diferenciable, es una variedad orientable. Lo digo porque hay una noción (distinta) de "fibrado orientable", y con esa noción el fibrado \( TM \to M \) es orientable si y solo si lo es \( M \).

Vamos con tu duda. La clave está en que \( d(\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta) \) es una aplicación lineal que solamente depende de \( (x_1, \dots, x_n) \) y no de las coordenadas \( v_i \). En coordenadas locales, puedes pensar que es una matriz \( A \) que depende de \( x_i \). La segunda parte del cambio de coordenadas es entonces \( Av \) (donde \( v=(v_1,\dots,v_n)^T \)). Es decir, esta parte del cambio de cartas es lineal en \( v \).
Pero la matriz jacobiana de una aplicación lineal \( v \mapsto Av \) es justamente \( A \). Por tanto, el bloque diagonal inferior de la matriz de cambio de cartas es \( d(\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Diciembre, 2019, 05:02 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola a todos

No tengo noción de casi nada de lo que ustedes están discutiendo, pero para fijar algo quiero consultar lo siguiente. geómetracat, cuando hablás de:

(...) La clave está en que \( d(\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta) \) es una aplicación lineal que solamente depende de \( (x_1, \dots, x_n) \) (...)

Esa función, ¿tiene alguna fórmula o regla de correspondencia, o expresión algebraica? Porque parecería que hablaran en términos generales pero también concretando definiciones, implicaciones, y yo me pierdo en todo eso :-\.

Gracias y Feliz Año Nuevo

29 Diciembre, 2019, 05:15 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Esa función, ¿tiene alguna fórmula o regla de correspondencia, o expresión algebraica? Porque parecería que hablaran en términos generales pero también concretando definiciones, implicaciones, y yo me pierdo en todo eso :-\.

Sí, claro, tiene una fórmula que aquí no es demasiado importante. Es la aplicación dada por la matriz jacobiana de una aplicación entre abiertos de \( \Bbb R^n \). Es algo estándar en geometría diferencial, por tanto ya se entiende a qué nos referimos. No sé muy bien qué quieres decir con que parece que hablemos en términos generales pero también concretando definiciones, etc.

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Gracias y Feliz Año Nuevo

Feliz año nuevo para ti también.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Diciembre, 2019, 06:13 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Sí, claro, tiene una fórmula que aquí no es demasiado importante. Es la aplicación dada por la matriz jacobiana de una aplicación entre abiertos de \( \Bbb R^n \). Es algo estándar en geometría diferencial, por tanto ya se entiende a qué nos referimos. No sé muy bien qué quieres decir con que parece que hablemos en términos generales pero también concretando definiciones, etc.

Me refería justamente a lo que dijiste: "Tiene una fórma que aquí no es demasiado importante". No estoy acostumbrado a ver los análisis que hacen con esta geometría en particular. Yo siempre, como casi todo estudiante, lo que hice fue simplemente ver la noción de función, de espacio vectorial, de probar la derivabilidad en un punto, de noción de matriz... pero no de cosas como:

Estaba probando que el fibrado tangente \( TM \) es orientable sin importar si la variedad \( M \) lo es (...)

(...) ¿Esto se debe porque al definir la diferencial sobre \( d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta) \) lo hacemos sobre el punto \( v=(v_1,\ldots,v_n) \) y esto hace que el operador \( d(d(\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta))_v(v_1,\ldots,v_n) \) es la identidad?

(...) La clave está en que \( d(\phi_\alpha^{-1} \circ \phi_\beta) \) es una aplicación lineal que solamente depende de \( (x_1, \dots, x_n) \) (...)

(...) En coordenadas locales, puedes pensar que es una matriz \( A \) que depende de \( x_i \). (...)

No creo tener la capacidad para analizarlo de esa forma, simplemente siempre hice ejercicios sin esa profundidad de análisis.

Saludos

29 Diciembre, 2019, 07:38 pm
Respuesta #5

geómetracat

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No me queda claro todavía si tu problema es que se usan objetos genéricas en vez de concretas, en plan "una variedad cualquiera" o "una función cualquiera" en vez de "la variedad tal" o "la función dada por la siguiente formula", o si el problema es que no entiendes la jerga del campo (variedades, fibrados tangentes, etc).

Si es lo primero, no es nada extraño. De hecho, es lo que se suele hacer en matemáticas. Es como cuando demuestras en análisis que toda función derivable es continua. Lo demuestras para una función (derivable) arbitraria sin especificar cuál es.

Si es lo segundo, tampoco es extraño. Aprender matemáticas, o un área nueva de las matemáticas es como aprender un idioma. Al principio lees los teoremas y te quedas igual porque no conoces los objetos sobre los que hablan, ni las técnicas usuales en el campo (como cuando abres un libro en un idioma extranjero y no conoces el significado de las palabras). Pero poco a poco te vas familiarizando con ellos y, si insistes lo suficiente, llega un punto en que son como de la familia.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)