Autor Tema: Variante de demostración del Teorema de Wilson

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29 Diciembre, 2019, 05:04 pm
Respuesta #30

feriva

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Pues feriva parece que sí es posible conseguir una demostración sin acudir a la propiedad de la división en los grupos Módulo p. No están a mi alcance. No obstante a lo mejor algún día lo intento otra vez. Es un tema bonito

Puedes demostrar otra cosa parecida; no sé si estará demostrada ni he pensado en ella mucho.

Si tomamos los pares y quitamos los no coprimos, se observa esto...

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{blue}(4)}\Rightarrow1\cdot3\equiv{\color{magenta}-1}\,(mod\:4)
  \)

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,({\color{blue}6)}\Rightarrow1\cdot5\equiv{\color{magenta}-1}\,(mod\:6)
  \)

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,({\color{blue}8)}\Rightarrow1\cdot3\cdot5\cdot7\equiv{\color{magenta}1}\,(mod\:8)
  \)

etc.

dan resto 1 ó -1.

Ahí en el 8 se ve que el inverso de 3 es 3; y el de 5 es 5, al faltar números se ve que ocurre eso. Pero multiplicados ambos dan resto -1, igual que 1·7, con lo que el producto de los coprimos es 1.

A primera vista, parece algo un poco más difícil de demostrar, pero los recursos a emplear tienen que ser similares.

Con los impares no primos también pasa.

Saludos.

29 Diciembre, 2019, 08:02 pm
Respuesta #31

geómetracat

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Muy buena observación, feriva. Yo no lo había visto enunciado nunca, lo podemos llamar Teorema de feriva  ;D. En efecto es cierto, y se puede demostrar con ideas muy parecidas a la demostración del teorema de Wilson. Pero tu observación deja una pregunta abierta: ¿cuándo el producto es congruente a \( 1 \) y cuándo a \( -1 \)?
Esto es más difícil, pero sabiendo algunas cosas se puede llegar a la siguiente respuesta (lo pongo en spoiler por si a alguien le apetece pensarlo sin ver la respuesta, aunque no pongo la demostración). Esto se puede pensar entonces como una generalización del teorema de Wilson.

Spoiler
Dado un \( n \) cualquiera, factorizamos \( n=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r} \). Entonces, el producto de los números positivos menores que \( n \) y coprimos con \( n \) es congruente a \( (-1)^r \) si \( 2 \not \mid n \) o si \( 4 \) es la mayor potencia de \( 2 \) que divide a \( n \), y a \( (-1)^{r-1} \) en caso contrario. 
El producto de los coprimos con \( n \) es congruente a \( -1 \) módulo \( n \) si \( n=4,p^r,2p^r \) con \( p \) primo impar, y congruente a \( 1 \) en caso contrario.
 
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Edición: lo del spoiler estaba mal. Gracias Luis
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Diciembre, 2019, 09:01 pm
Respuesta #32

Fernando Moreno

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Hola feriva y geómetracat.

¡Enhorabuena feriva! Siguiendo tu ejemplo he estado bicheando entre los residuos cuadráticos y por ahora, quitando los residuos pares y no coprimos, según tú método, si multiplico el resto de números me da +1 ó -1 siempre que sea Módulo un número par que es congruente con 2 Módulo 4: 2,6,10,14,18 etc. Te lo dejo como idea por si se puede llegar a un Teorema más general todavía. Sdos
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

29 Diciembre, 2019, 11:08 pm
Respuesta #33

feriva

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Muy buena observación, feriva. Yo no lo había visto enunciado nunca, lo podemos llamar Teorema de feriva  ;D. En efecto es cierto, y se puede demostrar con ideas muy parecidas a la demostración del teorema de Wilson.

:D En todo caso, postulado, el teorema es de quien lo demuestra, que has sido tú.

Y además el postulado lo tendré que compartir con mi amigo Víctor Luis, que me hizo coautor de varios inventos, como el conjunto FLV (los números de la forma \( 6n\pm1
  \); aunque hubo quien dudó de la novedad).


Citar
Pero tu observación deja una pregunta abierta: ¿cuándo el producto es congruente a \( 1 \) y cuándo a \( -1 \)?
Esto es más difícil, pero sabiendo algunas cosas se puede llegar a la siguiente respuesta (lo pongo en spoiler por si a alguien le apetece pensarlo sin ver la respuesta, aunque no pongo la demostración). Esto se puede pensar entonces como una generalización del teorema de Wilson.


Lo pensé, lo pensé, e imaginé que tenía que ver con las potencias, pero hasta ahí llegué, no concreté pude concretar nada.

Muchas gracias, Geómetracat.

...


¡Enhorabuena feriva! Siguiendo tu ejemplo he estado bicheando entre los residuos cuadráticos y por ahora, quitando los residuos pares y no coprimos, según tú método, si multiplico el resto de números me da +1 ó -1 siempre que sea Módulo un número par que es congruente con 2 Módulo 4: 2,6,10,14,18 etc. Te lo dejo como idea por si se puede llegar a un Teorema más general todavía. Sdos

Muchas gracias, Fernando. No creo que tenga mayor historia, simplemente sospeché que, haciendo eso con los no primos, el resto sería también -1 ó 1; y resultó que pasaban las dos cosas.

Lo de los restos cuadráticos no lo tengo mirado; está entre mis curiosidades pendientes. Lo miraré.

Saludos.

29 Diciembre, 2019, 11:18 pm
Respuesta #34

geómetracat

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Bueno, no he puesto la demostración. De todas maneras aquí el mérito estaba en darse cuenta de la propiedad. Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat.  :P

Por otro lado, residuos cuadráticos normalmente se refiere a los \( a \) tales que existe un \( x \) con \( x^2 \equiv a \mod n \). No acabo de ver qué pretendéis hacer con eso aquí exactamente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 12:15 am
Respuesta #35

feriva

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Bueno, no he puesto la demostración. De todas maneras aquí el mérito estaba en darse cuenta de la propiedad. Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat.  :P

Por otro lado, residuos cuadráticos normalmente se refiere a los \( a \) tales que existe un \( x \) con \( x^2 \equiv a \mod n \). No acabo de ver qué pretendéis hacer con eso aquí exactamente.

No sé, yo no conozco las propiedades de esos residuos (recuerdo muy lejanamente haber leído algo relacionado con las raíces primitivas y el símbolo de Legendre, pero no me acuerdo de más).

Quizá Fernando lo diga porque todos tienen su inverso pero algunos se tienen de inverso a sí mismo; entonces, pues habrá pensado, como en el ejemplo del 8, que si \( 3\cdot3\equiv1
  \) y \( 5\cdot5\equiv1
  \), entonces \( 3\cdot3\cdot5\cdot5\equiv1
  \) y asociando así \( (3\cdot5)\cdot(3\cdot5)\equiv1
  \) se puede investigar por qué \( (3\cdot5)
  \) tiene que ser 1 ó -1. Pero no lo sé, él dirá, yo no sé la teoría de eso.

La demostración, como lo que se decía en la cartilla militar del “valor”, se te supone y se da por hecha aunque no lo pongas (tratándose de ti o de Luis... nadie va a dudarlo :) )

Gracias otra vez.

30 Diciembre, 2019, 12:48 am
Respuesta #36

geómetracat

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No sé, yo no conozco las propiedades de esos residuos (recuerdo muy lejanamente haber leído algo relacionado con las raíces primitivas y el símbolo de Legendre, pero no me acuerdo de más).

Sí, recuerdas bien.

Citar
La demostración, como lo que se decía en la cartilla militar del “valor”, se te supone y se da por hecha aunque no lo pongas (tratándose de ti o de Luis... nadie va a dudarlo :) )

Bueno, a veces también meto la pata, como todos. No hay que tener fe ciega en nadie.

De todas maneras, aquí lo que importa (quizá se refería a eso Fernando, no sé) es encontrar los \( x \) tales que \( x^2 \equiv 1 \mod n \).

Doy unas ideas sobre la prueba en spoiler.

Spoiler
De hecho, la idea es exactamente la misma que en el teorema de Wilson, usar que los coprimos con \( n \) tienen inverso módulo \( n \) y agruparlos por parejas de inversos (que al multiplicar dan \( 1 \)). El problema es que puede haber \( x \) tales que \( x^2 \equiv 1 \mod n \) y estos solo aparecen una vez, de manera que no quedan agrupados con su inverso (que es él mismo). Pero si pasa esto, entonces \( (-x)^2 \equiv 1 \mod n \) y si agrupamos \( x \) con \( -x \) al multiplicar tenemos \( x(-x) \equiv -x^2 \equiv -1 \mod n \).

De manera que al multiplicar siempre obtenemos residuo \( 1 \) o \( -1 \), y obtener uno u otro dependerá del número de parejas \( x,-x \) con \( x^2 \equiv 1 \mod n \). Así que basta con contar cuántas parejas de este tipo hay para saber si el producto es congruente a \( 1 \) o \( -1 \). Pero la estructura de los grupos de unidades de \( \Bbb Z / n\Bbb Z \), que es el grupo multiplicativo módulo \( n \) formado por los coprimos con \( n \) es bien conocida, y de ahí se saca fácilmente cuántas parejas hay.

(Observación: en el caso del teorema de Wilson, solamente hay una tal pareja: \( 1,-1 \). Esto se sigue del hecho de que si \( p \mid x^2 -1=(x-1)(x+1) \) y \( p \) es primo, entonces \( p\mid x-1 \) o \( p \mid x+1 \). Sin embargo, esto deja de ser cierto si \( n \) no es primo. Por ejemplo, \( 4^2 \equiv 1 \mod 15 \) pero \( 4 \) no es congruente ni a \( 1 \) ni a \( -1 \) módulo \( 15 \).)
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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 02:31 am
Respuesta #37

manooooh

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Hola a todos

Parece que el hilo se ha puesto más interesante con el reciente descubrimiento de un resultado de feriva. ¡Felicitaciones feriva!

Además paso a dejar en una imagen una demostración de un teorema que geómetracat ha usado en su spoiler, en un spoiler (sí, no es necesario pero para acompañar a mis compañeros del foro):

Spoiler
(...) Esto se sigue del hecho de que si \( p \mid x^2 -1=(x-1)(x+1) \) y \( p \) es primo, entonces \( p\mid x-1 \) o \( p \mid x+1 \). (...)


¿Conocen otra manera? ::)

Lo quise dejar como imagen porque así es tal como aparece en el libro que sigo de la universidad.
[cerrar]

Si aun así hay que pasar a LaTeX la imagen favor de pedirlo y lo hago.

Saludos y Feliz Año Nuevo

30 Diciembre, 2019, 08:21 am
Respuesta #38

Fernando Moreno

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Hola, no he podido escribir antes

De todas maneras, aquí lo que importa (quizá se refería a eso Fernando, no sé) es encontrar los \( x \) tales que \( x^2 \equiv 1 \mod n \).

Os pongo un ejemplo y os aclaráis en seguida.

Ver aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue

Los cuadrados módulo 34 (ejp) son los siguientes: 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25, 26, 30, 32, 33 . (" 34 " es un número par congruente con 2 Módulo 4, que es la primera condición. La segunda sería que el resultado de dividir entre 2, sea un primo. En este caso: 17)

Por el Teorema feriva-geómetracat, si quito los cuadrados pares y los no coprimos con 34 y hago la multiplicación de lo que me queda, pienso que me puede dar  \( \pm 1 \) Módulo 34 .

Veamos: 1 x 9 x 13 x 15 x 19 x 21 x 25 x 33 = 577.702.125 \( \equiv\,-1 \) mod 34 .

Es cierto que no lo tengo del todo claro. Lo he hecho deprisa y corriendo, pero lo pongo como Conjetura. Creo que puede ser interesante, de ser verdad, para generalizar vuestro Teorema.



Muchas gracias, Fernando. No creo que tenga mayor historia, simplemente sospeché que, haciendo eso con los no primos, el resto sería también -1 ó 1; y resultó que pasaban las dos cosas.

Lo de los restos cuadráticos no lo tengo mirado; está entre mis curiosidades pendientes. Lo miraré.

No estoy de acuerdo feriva. Creo que cierta importancia puede tener. Míralo. No pases esta oportunidad. El mérito es tuyo. Yo ahora estoy liado con otra cosa, pero más adelante también le echaré un vistazo.

Saludos
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

30 Diciembre, 2019, 11:12 am
Respuesta #39

feriva

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Doy unas ideas sobre la prueba en spoiler.


Ésa  era la idea por encima que yo tenía; pero si me pongo a explicarlo, empiezo “supongamos que la cantidad de cuadrados es impar...” y me alargo con una verborrea quizá no necesaria (aparte de lo que diga mal por despiste o error). Es mejor que lo digáis Luis o tú, que conocéis bien la teoría y lo hacéis más conciso y claro para todos.

Muchas gracias, Geómetracat.

...

Hola a todos

Parece que el hilo se ha puesto más interesante con el reciente descubrimiento de un resultado de feriva. ¡Felicitaciones feriva!

Además paso a dejar en una imagen una demostración de un teorema que geómetracat ha usado en su spoiler, en un spoiler (sí, no es necesario pero para acompañar a mis compañeros del foro):

Spoiler
(...) Esto se sigue del hecho de que si \( p \mid x^2 -1=(x-1)(x+1) \) y \( p \) es primo, entonces \( p\mid x-1 \) o \( p \mid x+1 \). (...)


¿Conocen otra manera? ::)

Lo quise dejar como imagen porque así es tal como aparece en el libro que sigo de la universidad.
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Si aun así hay que pasar a LaTeX la imagen favor de pedirlo y lo hago.

Saludos y Feliz Año Nuevo


Hola, manooooh, buenos días, Feliz Año

No conozoc más demostración; eso es el lema de Aquiles ( :D ). Si el denominador es coprimo con los de arriba... pues ya se sabe, se podrá decir con unas palabras u otras, y con unos símbolos u otros, pero es lo que es.

Que pases una buena nochevieja y no tomes mucho :)

...


No estoy de acuerdo feriva. Creo que cierta importancia puede tener. Míralo. No pases esta oportunidad. El mérito es tuyo. Yo ahora estoy liado con otra cosa, pero más adelante también le echaré un vistazo.

Hola, Fernando.

Yo sigo viendo que es algo que se le puede ocurrir a cualquiera; quizá profundizando más sí pueda aparecer algún aspecto un poco interesante, pero esa consideración sin más... no sé.

Muchas gracias, Fernando.

Feliz año a todos.