No se si he entendido bien o querías exactamente poner eso u otra cosa. Pero por ejemplo para \( n=3\cdot 5\cdot 7 \) se tiene que el producto indicado es congruente con \( 1 \) (y no con \( (-1)^3 \)) módulo \( n \).
Efectivamente metí la pata. Ya dije en otro mensaje que no era de fiar...
Ahora en serio, fue un lapsus por pensar las cosas rápido y no repasar. De hecho, hice lo más difícil y me equivoqué en lo más fácil.
Mi razonamiento (corregido) es de la siguiente manera. El inverso de un coprimo con \( n \) también es coprimo con \( n \), por tanto al multiplicar se cancelan todos entre sí excepto aquellos que son inversos de sí mismos, \( x^2 \equiv 1 \mod n \).
Ahora bien, si \( x^2 \equiv 1 \mod n \), también \( (-x)^2 \equiv 1 \mod n \), y son residuos distintos módulo \( n \) excepto si \( n=2 \), que podemos tratar aparte. Pero en ese caso \( x(-x) \equiv -x^2 \equiv -1 \mod n \). Por tanto el producto de todos los coprimos será \( (-1)^{k/2} \) donde \( k \) es el número de soluciones de \( x^2 \equiv 1 \mod n \). Ahora bien, usando que es conocida la estructura de grupo abeliano de \( (\Bbb Z / n\Bbb Z)^* \) es fácil calcular \( k \) en cada caso y obtener el teorema correcto.
Cuando escribí el mensaje original, de alguna manera me convencí de que la congruencia era el producto de las congruencias para cada factor potencia de primo de \( n \), de ahí lo que puse, que obviamente está mal.
De hecho...
Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat. 
No sé si habrá que pedirle permiso a Gauss 
:
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem#Gauss's_generalization
Aquí puede verse una demostración:
https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_09/papers/Andrew.pdf
Vaya,
feriva, nos henos quedado sin teorema.
Se nos adelantó Gauss. Aunque de todas maneras tiene su mérito darse cuenta de un teorema demostrado por Gauss. Yo no lo conocía, y diría que no aparece en muchos libros de teoría de números básica (aunque podría estar equivocado, tampoco he mirado muchos).
La demostración es esencialmente la misma que pensé yo, solo que yo hago "trampa" usando la estructura de los grupos de unidades, mientras que ahí demuestran lo necesario.
Muchísimas gracias Luis por darte cuenta del fallo y por las referencias.
Feliz año nuevo a todos!
