Autor Tema: Variante de demostración del Teorema de Wilson

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30 Diciembre, 2019, 12:09 pm
Respuesta #40

geómetracat

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Fernando: ¡Ah, ahora lo entiendo! No había entendido bien tu mensaje anterior. Es otra propiedad interesante, y también está relacionada con el número de soluciones de \( x^2=1 \) módulo \( n \). Si no me he equivocado, tu propiedad debería cumplirse para todos los números de la forma \( n=p^r \) o \( n=2p^r \) donde \( p \) es un primo impar.
Hay que ver lo que está dando de sí el teorema de Wilson.

manooooh, esa es la demostración estándar del lema de Euclides. Yo no recuerdo haber visto otra. Aunque probablememte puedas inventar demostraciones más rebuscadas o no tan elementales.

feriva, tiene su mérito darse cuenta de propiedades de este tipo. A ver, no es un resultado que te vayan a publicar en ninguna revista de investigación, pero tiene su gracia, aunque sea solamente como curiosidad. Yo por lo menos nunca lo había visto enunciado, y me pareció interesante.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 01:40 pm
Respuesta #41

Fernando Moreno

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Hola,

Fernando: ¡Ah, ahora lo entiendo! No había entendido bien tu mensaje anterior. Es otra propiedad interesante, y también está relacionada con el número de soluciones de \( x^2=1 \) módulo \( n \). Si no me he equivocado, tu propiedad debería cumplirse para todos los números de la forma \( n=p^r \) o \( n=2p^r \) donde \( p \) es un primo impar.
Hay que ver lo que está dando de sí el teorema de Wilson.

Una de las cosas interesantes que tiene esto es precisamente que no se cumple para  \( n=p^r \) .  Si no me he equivocado de lo que ví ayer rápidamente, con  \( n=17 \)  no se cumple.

Los cuadrados módulo 17 son:  0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 . Les quito los pares y tengo: 9 x 13 x 15 = 1755 \( \equiv\,4 \) mod 17 . Parece que solamente cumple Módulo con los números pares, como en la idea primigenia de feriva. Pero tampoco cumple con los pares congruentes con 0 módulo 4..

El Teorema de Wilson no da nada. Pero la calidad de la gente de este Foro y sus Moderadores jeje  ;D
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

30 Diciembre, 2019, 02:09 pm
Respuesta #42

geómetracat

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Una de las cosas interesantes que tiene esto es precisamente que no se cumple para  \( n=p^r \) .  Si no me he equivocado de lo que ví ayer rápidamente, con  \( n=17 \)  no se cumple.

Los cuadrados módulo 17 son:  0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 . Les quito los pares y tengo: 9 x 13 x 15 = 1755 \( \equiv\,4 \) mod 17 . Parece que solamente cumple Módulo con los números pares, como en la idea primigenia de feriva. Pero tampoco cumple con los pares congruentes con 0 módulo 4..

Sí, tienes razón. Como sí que se cumple (que es lo que había pensado originalmente) es multiplicando todos los residuos coprimos (en este caso da \( -1 \)). Si \( n \) no es par, quitar los residuos pares es algo artificioso y en ese caso no estoy seguro de poder decir nada. Si \( n \) es par, al quedarte solamente con los coprimos ya eliminas todos los pares.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 06:18 pm
Respuesta #43

feriva

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Hola a todos.


feriva, tiene su mérito darse cuenta de propiedades de este tipo. A ver, no es un resultado que te vayan a publicar en ninguna revista de investigación, pero tiene su gracia, aunque sea solamente como curiosidad. Yo por lo menos nunca lo había visto enunciado, y me pareció interesante.

Gracias, Geómetracat; y gracias por interesarte por las cosas de los aficionados, que a veces Luis no da abasto con tantos como nos juntamos en el foro.

He pensado en otra conjetura, aunque ésta no sé si es tan fácil de demostrar así a primera vista; pese a que se ve muy tonta.

Si tomamos un número no primo y le quitamos los divisores de cero, se observa esto

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,(6)
  \) 1+5=6

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},5,{\color{red}6},7(8)
  \) 3+5=8

\( 1,2{\color{red},3},4,5,{\color{red}6},7,8(9)
  \) 4+5=9

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},{\color{red}5},{\color{red}6},7,{\color{red}8},9(10)
  \) 3+7=10

\( 1,{\color{red}2,3},{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,{\color{red}8},{\color{red}9},{\color{red}10},11,12
  \) 5+7=12...

etc.

parece que siempre va a haber dos coprimos consecutivos (sin otros coprimos entre medias) que sumen el número (el módulo, digamos).

He probado a hacer un programa para ver qué podía pasar con esta cuestión y la Conjetura de Goldbach (tomando los pares).

Por lo que observo, parece ocurrir que nunca hay más de una pareja de primos que cumpla esto para un par dado (que sumen 2n y no tengan ningún coprimo con 2n en medio de los dos) y, además, los que lo cumplen, pertenecen a una secuencia conocida (registrada en la oeis).

La sucesión empieza así n=1,3,5,6... para los “n” de cada par 2n, pero yo la considero a partir de 3; es ésta:

http://oeis.org/A168063

Por lo que entiendo, son números que tienen dos primos a su lado, exactamente dos y a distancia de dos unidades (por izquierda o derecha).

En la misma página habla de otra secuencia relacionada y no sé qué de cuadrados y productos de los gemelos; no lo he mirado todavía.

http://oeis.org/A014574

...

Tampoco me parece un gran “descubrimiento”, pero, si se van encontrando cosas, a lo mejor algún día sirven para demostrar algo relacionado con la conjetura, con Wilson o con otro tema relativo a los primos.

Saludos.

30 Diciembre, 2019, 07:41 pm
Respuesta #44

geómetracat

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Gracias, Geómetracat; y gracias por interesarte por las cosas de los aficionados, que a veces Luis no da abasto con tantos como nos juntamos en el foro.

De nada. A mí estas cosas de "detectar patrones" me parecen muy interesantes, lo digo en serio. En cambio, buscar el fallo en "demostraciones" elementales del teorema de Fermat me aburre más. Además, ahora yo también soy un aficionado.  ;)

Citar
He pensado en otra conjetura, aunque ésta no sé si es tan fácil de demostrar así a primera vista; pese a que se ve muy tonta.

Si tomamos un número no primo y le quitamos los divisores de cero, se observa esto

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,(6)
  \) 1+5=6

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},5,{\color{red}6},7(8)
  \) 3+5=8

\( 1,2{\color{red},3},4,5,{\color{red}6},7,8(9)
  \) 4+5=9

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},{\color{red}5},{\color{red}6},7,{\color{red}8},9(10)
  \) 3+7=10

\( 1,{\color{red}2,3},{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,{\color{red}8},{\color{red}9},{\color{red}10},11,12
  \) 5+7=12...

etc.

parece que siempre va a haber dos coprimos consecutivos (sin otros coprimos entre medias) que sumen el número (el módulo, digamos).

De hecho, es más fácil que todo lo que habíamos hablado hasta ahora. Explicación en el spoiler:

Spoiler
Si escribimos \( n = x + (n-x) \) y \( x \) es coprimo con \( n \), entonces \( n-x \) también tiene que ser coprimo con \( n \). Ahora basta tomar como \( x \) el coprimo más cercano a \( n/2 \) para asegurarse de que entre \( x \) y \( n-x \) no hay ningún otro coprimo. Además, esta pareja debe ser necesariamente única.
[cerrar]

Citar
He probado a hacer un programa para ver qué podía pasar con esta cuestión y la Conjetura de Goldbach (tomando los pares).

Por lo que observo, parece ocurrir que nunca hay más de una pareja de primos que cumpla esto para un par dado (que sumen 2n y no tengan ningún coprimo con 2n en medio de los dos) y, además, los que lo cumplen, pertenecen a una secuencia conocida (registrada en la oeis).

La sucesión empieza así n=1,3,5,6... para los “n” de cada par 2n, pero yo la considero a partir de 3; es ésta:

http://oeis.org/A168063

Por lo que entiendo, son números que tienen dos primos a su lado, exactamente dos y a distancia de dos unidades (por izquierda o derecha).

Esto es lo mismo de antes usando que \( 2n/2 = n \). Por tanto, los coprimos más cercanos estarán "cerca" de \( n \).  Creo que no coincide exactamente con la sucesión que pones, porque en principio podría ser que el primo (coprimo) más cercano a \( n \) estuviera a más de dos posiciones de él, mientras que en esa sucesión se consideran los que están a dos como mucho, pero tampoco he buscado contraejemplos.

Citar
En la misma página habla de otra secuencia relacionada y no sé qué de cuadrados y productos de los gemelos; no lo he mirado todavía.

http://oeis.org/A014574

Esto es la media de los pares de primos gemelos. Es decir, el número que está en medio. O dicho de otra manera, los \( n \) tales que \( n-1,n+1 \) son ambos primos.

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 08:00 pm
Respuesta #45

feriva

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Gracias, Geómetracat; y gracias por interesarte por las cosas de los aficionados, que a veces Luis no da abasto con tantos como nos juntamos en el foro.

De nada. A mí estas cosas de "detectar patrones" me parecen muy interesantes, lo digo en serio. En cambio, buscar el fallo en "demostraciones" elementales del teorema de Fermat me aburre más. Además, ahora yo también soy un aficionado.  ;)

Citar
He pensado en otra conjetura, aunque ésta no sé si es tan fácil de demostrar así a primera vista; pese a que se ve muy tonta.

Si tomamos un número no primo y le quitamos los divisores de cero, se observa esto

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,(6)
  \) 1+5=6

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},5,{\color{red}6},7(8)
  \) 3+5=8

\( 1,2{\color{red},3},4,5,{\color{red}6},7,8(9)
  \) 4+5=9

\( 1,{\color{red}2},3,{\color{red}4},{\color{red}5},{\color{red}6},7,{\color{red}8},9(10)
  \) 3+7=10

\( 1,{\color{red}2,3},{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,{\color{red}8},{\color{red}9},{\color{red}10},11,12
  \) 5+7=12...

etc.

parece que siempre va a haber dos coprimos consecutivos (sin otros coprimos entre medias) que sumen el número (el módulo, digamos).

De hecho, es más fácil que todo lo que habíamos hablado hasta ahora. Explicación en el spoiler:

Spoiler
Si escribimos \( n = x + (n-x) \) y \( x \) es coprimo con \( n \), entonces \( n-x \) también tiene que ser coprimo con \( n \). Ahora basta tomar como \( x \) el coprimo más cercano a \( n/2 \) para asegurarse de que entre \( x \) y \( n-x \) no hay ningún otro coprimo. Además, esta pareja debe ser necesariamente única.
[cerrar]

Citar
He probado a hacer un programa para ver qué podía pasar con esta cuestión y la Conjetura de Goldbach (tomando los pares).

Por lo que observo, parece ocurrir que nunca hay más de una pareja de primos que cumpla esto para un par dado (que sumen 2n y no tengan ningún coprimo con 2n en medio de los dos) y, además, los que lo cumplen, pertenecen a una secuencia conocida (registrada en la oeis).

La sucesión empieza así n=1,3,5,6... para los “n” de cada par 2n, pero yo la considero a partir de 3; es ésta:

http://oeis.org/A168063

Por lo que entiendo, son números que tienen dos primos a su lado, exactamente dos y a distancia de dos unidades (por izquierda o derecha).

Esto es lo mismo de antes usando que \( 2n/2 = n \). Por tanto, los coprimos más cercanos estarán "cerca" de \( n \). Creo que no coincide exactamente con la sucesión que pones, porque en principio podría ser que el primo (coprimo) más cercano a \( n \) estuviera a más de dos posiciones de él, mientras que en esa sucesión se consideran los que están a dos como mucho, pero tampoco he buscado contraejemplos.

Citar
En la misma página habla de otra secuencia relacionada y no sé qué de cuadrados y productos de los gemelos; no lo he mirado todavía.

http://oeis.org/A014574

Esto es la media de los pares de primos gemelos. Es decir, el número que está en medio. O dicho de otra manera, los \( n \) tales que \( n-1,n+1 \) son ambos primos.

Muchísimas gracias por todo; qué bien que se pueda demostrar eso.

En cuanto a la secuencia, es lo que me salía en Python, pero revisaré el programa, que es posible que haya algo mal.

Gracias, saludos.

30 Diciembre, 2019, 08:18 pm
Respuesta #46

geómetracat

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No hace falta que revises nada, está bien. Es exactamente esa sucesión. El hecho es que exctamente uno de \( n-2,n-1 \) debe ser coprimo con \( 2n \) (\( n-1 \) es coprimo con \( 2n \) si \( n \) es par, y \( n-2 \) es coprimo con \( 2n \) si \( n \) es impar). Similarmente, exactamente uno de \( n+1,n+2 \) es coprimo con \( 2n \).
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30 Diciembre, 2019, 08:37 pm
Respuesta #47

feriva

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No hace falta que revises nada, está bien. Es exactamente esa sucesión. El hecho es que exctamente uno de \( n-2,n-1 \) debe ser coprimo con \( 2n \) (\( n-1 \) es coprimo con \( 2n \) si \( n \) es par, y \( n-2 \) es coprimo con \( 2n \) si \( n \) es impar). Similarmente, exactamente uno de \( n+1,n+2 \) es coprimo con \( 2n \).

Entiendo que esto es lo que se observa (o lo que he observado) que los primos más cercanos a “n”, cumpliendo esa condición de que no haya coprimos por medio y sumen 2n, no pueden alejarse más de dos unidades; y entonces es esa sucesión, claro. Pero ¿se puede asegurar que va a ser así siempre? Porque el que exista esa secuencia supongo que no quiere decir que se pueda estar seguro sin una demostración; para números muy grandes, podrían estar más alejados de “n” sin tener coprimos entre medias; en principio, ¿no?

Muchas gracias.

30 Diciembre, 2019, 08:44 pm
Respuesta #48

geómetracat

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No, es una demostración. Es decir, si \( n \) es par, siempre van a ser \( n-1,n+1 \) coprimos con \( 2n \), de manera que el par \( n-1,n+1 \) es el único par de coprimos sumando \( 2n \) y sin más coprimos por enmedio. Ahora si ambos son primos, \( n \) está en la sucesión, y si alguno no lo es, no está (en este caso \( n-2,n+2 \) no pueden ser primos porque son pares).
Si \( n \) es impar, pasa algo parecido, pero ahora los coprimos con \( 2n \) son \( n-2,n+2 \) y \( n-1,n+1 \) no pueden ser primos porque son pares.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Diciembre, 2019, 09:01 pm
Respuesta #49

feriva

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No, es una demostración. Es decir, si \( n \) es par, siempre van a ser \( n-1,n+1 \) coprimos con \( 2n \), de manera que el par \( n-1,n+1 \) es el único par de coprimos sumando \( 2n \) y sin más coprimos por enmedio. Ahora si ambos son primos, \( n \) está en la sucesión, y si alguno no lo es, no está (en este caso \( n-2,n+2 \) no pueden ser primos porque son pares).
Si \( n \) es impar, pasa algo parecido, pero ahora los coprimos con \( 2n \) son \( n-2,n+2 \) y \( n-1,n+1 \) no pueden ser primos porque son pares.

Ah, claro, qué tonto estoy, tienes razón; mira que he pensado veces en está cuestión de la simetría de los números con el "n" central, y no darme cuenta de ello...

Muchas gracias.

31 Diciembre, 2019, 07:30 pm
Respuesta #50

Luis Fuentes

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Hola

Dado un \( n \) cualquiera, factorizamos \( n=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r} \). Entonces, el producto de los números positivos menores que \( n \) y coprimos con \( n \) es congruente a \( (-1)^r \) si \( 2 \not \mid n \) o si \( 4 \) es la mayor potencia de \( 2 \) que divide a \( n \), y a \( (-1)^{r-1} \) en caso contrario.

No se si he entendido bien o querías exactamente poner eso u otra cosa. Pero por ejemplo para \( n=3\cdot 5\cdot 7 \) se tiene que el producto indicado es congruente con \( 1 \) (y no con \( (-1)^3 \)) módulo \( n \).

De hecho...

Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat.  :P

No sé si habrá que pedirle permiso a Gauss  ;):

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem#Gauss's_generalization

Aquí puede verse una demostración:

https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_09/papers/Andrew.pdf

Saludos.

01 Enero, 2020, 01:49 am
Respuesta #51

geómetracat

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No se si he entendido bien o querías exactamente poner eso u otra cosa. Pero por ejemplo para \( n=3\cdot 5\cdot 7 \) se tiene que el producto indicado es congruente con \( 1 \) (y no con \( (-1)^3 \)) módulo \( n \).

Efectivamente metí la pata. Ya dije en otro mensaje que no era de fiar...  ;D
Ahora en serio, fue un lapsus por pensar las cosas rápido y no repasar. De hecho, hice lo más difícil y me equivoqué en lo más fácil.
Mi razonamiento (corregido) es de la siguiente manera. El inverso de un coprimo con \( n \) también es coprimo con \( n \), por tanto al multiplicar se cancelan todos entre sí excepto aquellos que son inversos de sí mismos, \( x^2 \equiv 1 \mod n \).
Ahora bien, si \( x^2 \equiv 1 \mod n \), también \( (-x)^2 \equiv 1 \mod n \), y son residuos distintos módulo \( n \) excepto si \( n=2 \), que podemos tratar aparte. Pero en ese caso \( x(-x) \equiv  -x^2 \equiv -1 \mod n \). Por tanto el producto de todos los coprimos será \( (-1)^{k/2} \) donde \( k \) es el número de soluciones de \( x^2 \equiv 1 \mod n \). Ahora bien, usando que es conocida la estructura de grupo abeliano de \( (\Bbb Z / n\Bbb Z)^* \) es fácil calcular \( k \) en cada caso y obtener el teorema correcto.

Cuando escribí el mensaje original, de alguna manera me convencí de que la congruencia era el producto de las congruencias para cada factor potencia de primo de \( n \), de ahí lo que puse, que obviamente está mal.

Citar
De hecho...

Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat.  :P

No sé si habrá que pedirle permiso a Gauss  ;):

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem#Gauss's_generalization

Aquí puede verse una demostración:

https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_09/papers/Andrew.pdf

Vaya, feriva, nos henos quedado sin teorema. :( Se nos adelantó Gauss. Aunque de todas maneras tiene su mérito darse cuenta de un teorema demostrado por Gauss. Yo no lo conocía, y diría que no aparece en muchos libros de teoría de números básica (aunque podría estar equivocado, tampoco he mirado muchos).

La demostración es esencialmente la misma que pensé yo, solo que yo hago "trampa" usando la estructura de los grupos de unidades, mientras que ahí demuestran lo necesario.

Muchísimas gracias Luis por darte cuenta del fallo y por las referencias.

Feliz año nuevo a todos!
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Enero, 2020, 02:45 am
Respuesta #52

feriva

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De hecho...

Si quieres dejémoslo en Teorema de feriva-geómetracat.  :P

No sé si habrá que pedirle permiso a Gauss  ;):

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem#Gauss's_generalization

Aquí puede verse una demostración:

https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_09/papers/Andrew.pdf

Vaya, feriva, nos henos quedado sin teorema. :( Se nos adelantó Gauss. Aunque de todas maneras tiene su mérito darse cuenta de un teorema demostrado por Gauss. Yo no lo conocía, y diría que no aparece en muchos libros de teoría de números básica (aunque podría estar equivocado, tampoco he mirado muchos).


Bueno, pues entonces teorema de Gauss-Geómetracat-feriva :D como tantos otros que hay así; aunque aquí hay una cuestión de siglos por medio que en otros no, pero la cosa es que no es un plagio, sino una coincidencia.

A mí me sirve para ir comprendiendo mejor las cosas, y eso ya está bastante bien.

Feliz año a todos.