Consideremos
\( ax\equiv1\,(mod\, y)
\); donde \( x,y
\) son coprimos; o sea \( mcd(x,y)=1
\).
Lo que lleva a la ecuación diofántica:
\( ax-1=by
\)
\( ax+by=1
\) (el signo no importa, se puede poner + porque b puede tomar el signo que convenga).
Se demuestra que siempre existen a,b enteros para los x,y coprimos de esa ecuación; aunque, en realidad, se demuestra más en general que \( ax+by=mcd(x,y)
\) (no sólo para coprimos); la identidad de Bézout.
Spoiler
Esta famosa demostración la conocía y la he recordado; me ha parecido oportuna para intentar demostrar la existencia de los inversos traídos a colación.
Tenemos como hipótesis \( ax+by=mcd(x,y)
\).
Existe el conjunto de los números positivos de la forma \( ax+by
\); conjunto que tendrá algún elemento de valor mínimo, sea “m” (mayor que cero, pues consideramos un conjunto de divisores).
Sea el mínimo entonces: \( m=a_{0}x+b_{0}y
\).
Esto es claro que existe siempre, pues dados unos x,y cualesquiera, existirán enteros “a,b” (positivos, negativos los dos o uno u otro) de tal forma que la suma sea el valor positivo más pequeño que puede dar dicha adición; lo que no sabemos aún es si existen “a,b” tales que “m” sea el mcd de (x,y).
Entonces, si “m” divide a “x” y también a “y”, por ser el mínimo, será el máximo común divisor de los dos.
Usando el algoritmo de la división podemos escribir
\( x=qm+r
\)
(esto siempre con m>r, porque, si es al revés, con r=m+k (k positivo)
\( x=qm+m+k=m(q+1)+k
\) y el resto sería k; y (q+1) haría de q pudiendo reescribir la ecuación con la misma forma retomando las letras).
Y sustituyendo “m” en \( x=qm+r
\) por \( ax+b_{0}y
\)
\( x=q(a_{0}x+b_{0}y)+r
\)
Ahora, despejando y sacando factor común x
\( x(1-qa_{0})-qb_{0}y=r
\)
Lo que significa que “r” tiene la misma forma y debería pertenecer al conjunto de los divisores; sin embargo, “m”, por hipótesis, es el más pequeño del conjunto y no puede haber otro número de la misma forma que sea menor (pero r<m, como se ha visto).
Entonces, si “m” valiera, por ejemplo, 2 ó 3... en ese caso “r” no podría ser 1 ó 2... porque entonces, al ser el mínimo, “m” también tendría que ser 1 ó 2... y no 2 ó 3... y sería contradictorio; tendríamos algo así \( x=qr+r
\) y el resto dividiría a “x, que es absurdo. Lo único que puede pasar es que r=0, lo que implica que “m” divide a x.
Exactamente de la misma manera se demuestra que “m” divide a “y; con lo que tienen que existir “a” y “b” tales que pase lo dicho.
Luego si x,y coprimos, existen a,b tales que \( ax\equiv1\,(mod\, y)
\), que implica \( ax+by=1
\), donde “a” es el inverso de “x” módulo “y”.
Para que ocurra esto, “y” no tiene que ser necesariamente primo; y existe el inverso de x siempre.
Ahora bien, si consideramos la congruencia \( (p-2)!\equiv1(mod\, p)
\), sólo se podrá cumplir si p es primo, de lo contrario, en el factorial habrá un factor común con p.
Por lo dicho, podríamos considerar, por ejemplo, la ecuación diofántica siguiente
\( a(p-2)!+bp=1
\)
y, por la identidad de Bézout, existe siempre el inverso “a”.
............................
También podemos considerar los factores aisladamente
\( a_{2}(p-2)+b_{2}p=1
\)
\( a_{3}(p-3)+b_{3}p=1
\)
etc.
....
Supongamos que dos (p-i) pudieran compartir un mismo inverso “a”:
\( a(p-i)+b_{2}p=1
\)
\( a(p-j)+b_{3}p=1\Rightarrow
\)
...
\( ap-ai+b_{2}p=1
\)
\( ap-aj+b_{3}p=1
\)
Tendríamos dos expresiones de esta forma
\( np-ai-1=0
\)
\( mp-aj-1=0
\)
donde i,j son elementos distintos de Zp multiplicados por un mismo número “a”. Sin embargo, junto al -1 que les acompaña, serían equivalentes al mismo resto módulo p.
Creo que esto no puede ser, creo que no pueden dar el mismo resto: \( i\,\not\equiv\, j\Rightarrow \) \( ai\,\not\equiv\, aj \)
Y de aquí podríamos afirmar que para cada (p-i) existe un inverso diferente.
¿Sería cierto esto?
Saludos.