Autor Tema: ¿Es posible hallar \(n\in(100,200)\) tal que \(\varphi(n)=n/2\)?

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07 Diciembre, 2019, 04:32 am
Respuesta #10

ingmarov

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Hola             Editado

...

Se cumple \( \varphi(n)=\varphi(2k)=\varphi(2)\varphi(k)=\varphi(k)\bf\neq k \)

No entiendo de dónde sale ese \( \neq k \). Entiendo que \( \varphi(n)=\varphi(k) \), pero no por qué es distinto a \( k \) (¿a qué debería ser igual?).

...

Lo podemos ver de su fórmula

\( \varphi(n)=\displaystyle n\cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\color{blue}\bf\neq n \)

Fi(n) será distinta de n, para todo entero n mayor a uno. En el lado izquierdo de la igualdad (no en azul) tenemos a n multiplicado por factores menores que uno.


Añado


Los números pares con otros factores primos distintos a dos (102 por ejemplo) ¿Qué pasa con el producto?

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No entiendo de dónde sale ese \( 1/2 \).

¿Los otros casos además de "Potencias de \( 2 \)" son únicamente "todos los números pares con otros factores primos distintos a dos"? No lo acabo de ver; no creo que esa condición "llene" a todos los números faltantes entre \( 100 \) y \( 200 \).

Nos remitimos de nuevo a la fórmula.

\( \varphi(n)={\bf n}\displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\color{blue}\bf =n(\frac{1}{2}) \)

Lo que está en azul era lo que buscabas.


Fueron solo ideas que podrían ayudarte... Había que ordenar y terminar el trabajo.

Saludos


No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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08 Diciembre, 2019, 01:03 am
Respuesta #11

manooooh

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Hola Luis

No entiendo bien la pregunta. \( n \) par no es una hipótesis. Es una conclusión que se deduce a las primeras de cambio del enunciado, ya que para que \( \varphi(n)=n/2 \) tiene que cumplirse que \( n/2 \) sea entero, es decir, que \( n \) sea par.

Es cierto, no es una hipótesis, perdón.

Me refiero a que si era necesario concluir que \( n \) ha de ser par, o por el contrario podríamos haber "atacado" al problema probando con potencias de \( 2 \). ¿Era necesario concluir que \( n \) debe ser par?

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:06 am
Respuesta #12

manooooh

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Hola feriva!

Sea \( n\in\mathbb{N}
  \); entonces pueden ocurrir tres casos a partir del Teorema Fundamental de la Aritmética:

1º \( n=2^{k}
  \)

2º \( n=p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \)

3º \( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \).

Pues te diré algo: Si yo tomo \( n=3 \) entonces pertenece al 2º y 3º casos, porque \( n=p_1=3 \) y \( n=2^0\cdot p_1=3 \), entonces no serían 3 casos sino uno menos ???.

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:19 am
Respuesta #13

feriva

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Pues te diré algo: Si yo tomo \( n=3 \) entonces pertenece al 2º y 3º casos, porque \( n=p_1=3 \) y \( n=2^0\cdot p_1=3 \), entonces no serían 3 casos sino uno menos ???.

Saludos

Hola, manooooh :)

Estoy muy dormido, pero es que eso es 1, dos a la cero no es un par ni un primo, se entiende \( k\neq0
  \), porque 1 no se descompone en primos, no existe “p” tal que \( \varphi(1)=1\cdot(1-\dfrac{1}{p})
  \), no existe la phi de \( 2^0 \)

Buenas noches.

08 Diciembre, 2019, 01:27 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Estoy muy dormido, pero es que eso es 1, dos a la cero no es un par ni un primo, se entiende \( k\neq0
  \), porque 1 no se descompone en primos, no existe “p” tal que \( \varphi(1)=1\cdot(1-\dfrac{1}{p})
  \), no existe la phi de \( 2^0 \)

Es cierto. ¿Quién estará más dormido? :laugh:

¿Y si ahora \( n=6 \)? Por un lado tenemos \( n=2\cdot3 \) y por el otro \( n=2^1\cdot3 \); un mismo \( n \) pertenece a dos clases distintas.

(...) no existe la phi de \( 2^0 \)

\( \varphi(2^0)=\varphi(1)=\operatorname{card}(\{x\in\Bbb{N}\mid x\leq 1\wedge\gcd(x,1)=1\})=|\{1\}|=1 \). Igualmente entiendo a que vas a que con la propiedad de la potencia no se puede saber \( \varphi(2^0) \).

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:40 am
Respuesta #15

manooooh

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Hola ingmarov, muchas gracias por tu ayuda

Viendo ahora tu último mensaje me ha quedado claro que:

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No puede ser igual a \( 1/2 \) porque es producto de números naturales.

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:58 am
Respuesta #16

ingmarov

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Hola

\( \varphi(1)=1 \)

Mirar, primer párrafo

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Euler#Primeras_propiedades_y_c%C3%A1lculo_de_la_funci%C3%B3n



Hola ingmarov, muchas gracias por tu ayuda

Viendo ahora tu último mensaje me ha quedado claro que:

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No puede ser igual a \( 1/2 \) porque es producto de números naturales.

Saludos

Ese producto es el producto de números racionales (menores que uno), pero en el caso de números pares como 102, ya tenemos en ese producto al factor 1/2 y al tener 102 más factores primos ese producto deberá resultar menor que 1/2.

\( \varphi(102)=102\left((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{17})\right)=102\left(\dfrac{(2-1)(3-1)(17-1)}{102}\right)=102\bf \dfrac{32}{102} \)

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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08 Diciembre, 2019, 03:02 am
Respuesta #17

feriva

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\( \varphi(2^0)=\varphi(1)=\operatorname{card}(\{x\in\Bbb{N}\mid x\leq 1\wedge\gcd(x,1)=1\})=|\{1\}|=1 \). Igualmente entiendo a que vas a que con la propiedad de la potencia no se puede saber \( \varphi(2^0) \).

Saludos

Sí, que no se le puede aplicar la fórmula, vamos, eso es; no sabía bien cómo se definía phi de 1.

Tengo mucho sueño pero no me duermo... :D

Saludos.

08 Diciembre, 2019, 10:55 am
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

Me refiero a que si era necesario concluir que \( n \) ha de ser par, o por el contrario podríamos haber "atacado" al problema probando con potencias de \( 2 \). ¿Era necesario concluir que \( n \) debe ser par?

Tal como está enunciada la pregunta que te hacen hubiera bastado poner:

Verdadero, porque \( 100<128<200 \) y:

\( \varphi(128)=\varphi(2^9)=(2-1)2^8=64=\dfrac{128}{2} \)

Y la respuesta es impecable. Ahora es mucho mas enriquecedora la respuesta de ingmarov que incluye el razonamiento exhaustivo que lleva a deducir que uno sólo puede pretender encontrar el \( n \) buscado entre las potencias de dos.

Saludos.