Hola, Luis.
feriva: una y otra vez me parece que estás hablando de la parte fácil de Teorema...
Yo parto de que si “p” es primo, quiere decir que cumple estas condiciones
\( p=ab:\,(|a|=1\wedge|b|\neq1)\vee(|a|\neq1\wedge|b|=1)
\)
Cuando ni |a| y ni |b| es 1, no cumple eso, es compuesto. A partir de ahí hago la suposición de que no es primo para llegar a que sí lo es.
Si ahora considero,\( (p-1)!\equiv-1\,(mod\, ab)
\), o lo que es lo mismo, \( (p-1)!+1\equiv0\,(mod\, ab)
\), al no ser “a” igual a 1ni tampoco “b”, ningún factor divide a \( (p-1)!
\) (lo que considero inmediato de ver).
Que “a” ó “b” (cualquier factor de p, el que sea) no divida a \( (p-1)!
\) implica trivialmente, por definición de factorial, que no divida a ningún número natural menor o igual que (p-1). Por tanto, “a” (o el factor “b”, sin perder generalidad) es un número mayor que (p-1). Igualmente me parece obvio que ese factor mayor que (p-1) no puede ser mayor que el propio “p”; ningún número tiene un factor mayor que sí mismo. Luego a=p y b=1, o viceversa, y entonces p es primo.
Ah, ya veo, no estoy demostrando la contraria; es que me lio... En cuanto a lo otro, me he despistado, sí, tienes razón; y además no sé si he entiendo lo que me preguntaba.
Entiendo que decía que no podía demostrar que \( (p-1)! \) no puede dejar resto (p-2) módulo p. Y lo que yo le decía era que considerara el factorial escrito así \( (p-1)!=(p-3)!(p-2)(p-1)
\) para, después, analizarlo para cualquier módulo, dejando resto (p-2). Y esto, veo ahora, que no tiene nada que ver, porque él se refería a módulo p.
Sería entonces (creo) equivalente a considerar esto
\( (p-3)!(p-2)(p-1)\equiv(p-2)\,(mod\, p)
\).
\( (p-3)!(p-1)\equiv1\,(mod\, p)
\)
¿Estoy entendiéndolo ahora?
Muchas gracias, Luis; y Feliz Navidad.