Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.
Entiendo que lo veas claro, pero esto engaña mucho.
Tienes que considerar el intervalo N partido en dos; dos números mayores que “q” darán una suma mayor que 2q, dos menores que “q” darán una suma inferior a 2q; esto facilita mucho la visión del problema: \( a\in[0,q)
\) y \( 2q-a\in(q,2q]
\)
En el caso de que “q” sea primo, la conjetura se cumple trivialmente; así que partimos de que “q” es compuesto y no consideramos la pareja q+q (suma de compuestos).
Tienes tres tipos de sumas que no cumplen: \( p+c;\, c+c;\, c+p
\) (“c” de compuesto, “p” de primo) donde la primera posición (izquierda) en los sumandos indica que el “p” o el “c” pertenece a \( [0,q)
\) y al revés con la segunda posición.
Se demuestra que la cantidad de primos en el intervalo \( (q,2q]
\) es aproximadamente la tercera parte que en el otro intervalo (Luis lo demostró fácilmente por ahí en un post mío, usando la función “pi”).
Por otra lado, sólo hay que considerar como posibles parejas las de los primos coprimos con \( q \); es trivial. Y también se ver que para los primos coprimos (para pares muy grandes) la proporción es más o menos la misma (lo comprobé con Python).
Todos los primos de \( (q,2q]
\) son coprimos con “q” (por razones obvias también) y en \( [0,q)
\) los hay coprimos y no coprimos (donde descartamos los no coprimos). El que haya más o menos coprimos va a depender de la factorización de q (y cada número es un mundo).
Para que la conjetura se cumpliera con seguridad tendría que haber, por lo menos, tantos primos coprimos con q en ambos intervalos; y esto empieza siendo así para los primeros “q”, pero enseguida aparece uno en el que ya hay más primos coprimos en \( [0,q)
\) que en \( [q,2q)
\) (tambiénhice un programa y lo comprobé).
Las distancias entre primos son pares, pero no se sabe el “orden” en que se suceden, se estiran y se encogen, por lo que es difícil asegurar qué puede pasar.
Sí es cierto que algo se intuye, pues las parejas que no cumplen (que forman sumas “q” del tipo p+(p+4), p+(p+6)... donde los p son distintos) van “preparando” los siguientes pares a “2q” para que se cumpla la conjetura; yo estoy convencidísimo de que no falla, de que es imposible. Sin embargo, es extremadamente difícil sacar una conclusión que garantice que va a ser así (mira que lo he intentado durante años...)
Saludos.
