Autor Tema: Conjetura Goldbach por el absurdo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Diciembre, 2019, 03:23 am
Leído 1477 veces

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 447
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Esto es muy fácil, así que omití o erré en algo  obvio, pero dónde?
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 09:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,105
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

La notación que has usado ahí me resulta absolutamente críptica. No se que se supone que querías expresar, pero sospecho que está mal escrito.

¿Por qué no lo explicas de manera un poco más informal?. De forma concreta, pero sin necesidad de tantos simbolitos y variables distintas.

Citar
De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Por otra parte una prueba basada en el postulado de Bertrand no tiene visos de estar bien. Y explico por que lo digo. Por ejemplo si retiramos del conjunto de primos el \( 23 \) y el \( 11 \), puedes comprobar que el postulado de Bertrand sigue siendo perfectamente cierto: entre cualquier número y su doble hay primos distintos de \( 11 \) y \( 23 \). Sin embargo no es posible expresar \( 28 \) como suma de dos primos sin usar el \( 11 \) y el \( 23 \).

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 10:06 am
Respuesta #2

feriva

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 9,152
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…



Hola, Richard.

Aunque a estas cosas les he dado muchas vueltas, no sé decirte ahora mismo, ya pasará Luis o alguien a revisarlo.

La cantidad mínima de primos que garantiza Bertrand para considerar parejas de primos, que sumen (que podrían sumar) un par “2n”, es “m” tal que \( \dfrac{n}{2^{m}}\geq1
  \). Y, para números sólo un poquito grandes, está bastante por debajo de la cantidad mínima que garantiza la función “pi”. Por eso intuyo algo raro en lo que dices, aunque también es verdad que, para entender las cosas con formalismos, soy todavía peor que para otras cosas de matemáticas.

Feliz Nochebuena.

(*mientras estaba escribiendo ha pasado Luis, tal como vaticinaba).

24 Diciembre, 2019, 11:00 am
Respuesta #3

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 447
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.


Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 11:24 am
Respuesta #4

feriva

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 9,152
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand,


Pero no sabes a priori cómo están distribuidos los primos en (q,2q], de hecho muchos primos de ese intervalo pueden sumar con compuestos de [0,q); puedes buscar ejemplos.

\( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,{\color{magenta}9},10,11,12,(13),14,15,16,{\color{magenta}17},18,19,20,21,22,23,24,25,26
  \)

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 11:45 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,105
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.

No, eso no es cierto. Si la conjetura falla para \( N \) lo que se cumple es que para cada \( a \) primo, entonces \( N-a \) es compuesto. Pero si simplemente tomas \( a \) impar pudiera ser que \( N-a \) fuese primo.

Citar
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.

Esto es falso también no es cierto que por el hecho de que la conjetura falle todo número impar entre \( N \) y \( N/2 \) deba de ser compuesto; porque no es cierto que en ese rango todo número impar sea resta de \( N \) con un primo.

Citar
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No acabo de entenderte. También puede ocurrir simplemente que tanto \( a \) como \( N-a \) sean compuestos.

Citar
No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.

Lo que hago es suponer que retiramos al 23 y al 11 del conjunto de primos. ¡Ya no son primos!. Entonces el Postulado de Bertrand seguiría siendo cierto pero la conjetura de Goldbach no. Por eso digo que no es de esperar que usando el primero se pruebe lo segundo.

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 12:48 pm
Respuesta #6

feriva

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 9,152
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino


Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.


Entiendo que lo veas claro, pero esto engaña mucho.

Tienes que considerar el intervalo N partido en dos; dos números mayores que “q” darán una suma mayor que 2q, dos menores que “q” darán una suma inferior a 2q; esto facilita mucho la visión del problema: \( a\in[0,q)
  \) y \( 2q-a\in(q,2q]
  \)

En el caso de que “q” sea primo, la conjetura se cumple trivialmente; así que partimos de que “q” es compuesto y no consideramos la pareja q+q (suma de compuestos).

Tienes tres tipos de sumas que no cumplen: \( p+c;\, c+c;\, c+p
  \) (“c” de compuesto, “p” de primo) donde la primera posición (izquierda) en los sumandos indica que el “p” o el “c” pertenece a \( [0,q)
  \) y al revés con la segunda posición.

Se demuestra que la cantidad de primos en el intervalo \( (q,2q]
  \) es aproximadamente la tercera parte que en el otro intervalo (Luis lo demostró fácilmente por ahí en un post mío, usando la función “pi”).

Por otra lado, sólo hay que considerar como posibles parejas las de los primos coprimos con \( q \); es trivial. Y también se ver que para los primos coprimos (para pares muy grandes) la proporción es más o menos la misma (lo comprobé con Python).

Todos los primos de \( (q,2q]
  \) son coprimos con “q” (por razones obvias también) y en \( [0,q)
  \) los hay coprimos y no coprimos (donde descartamos los no coprimos). El que haya más o menos coprimos va a depender de la factorización de q (y cada número es un mundo).

Para que la conjetura se cumpliera con seguridad tendría que haber, por lo menos, tantos primos coprimos con q en ambos intervalos; y esto empieza siendo así para los primeros “q”, pero enseguida aparece uno en el que ya hay más primos coprimos en \( [0,q)
  \) que en \( [q,2q)
  \) (tambiénhice un programa y lo comprobé).

Las distancias entre primos son pares, pero no se sabe el “orden” en que se suceden, se estiran y se encogen, por lo que es difícil asegurar qué puede pasar.

Sí es cierto que algo se intuye, pues las parejas que no cumplen (que forman sumas “q” del tipo p+(p+4), p+(p+6)... donde los p son distintos) van “preparando” los siguientes pares a “2q” para que se cumpla la conjetura; yo estoy convencidísimo de que no falla, de que es imposible. Sin embargo, es extremadamente difícil sacar una conclusión que garantice que va a ser así (mira que lo he intentado durante años...)

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 06:36 pm
Respuesta #7

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 447
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 06:58 pm
Respuesta #8

feriva

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 9,152
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.



Espero que encuentres algo interesante.

Feliz Navidad, Richard.

04 Enero, 2020, 03:37 am
Respuesta #9

Richard R Richard

  • Ingeniero Industrial
  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 447
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Después de la dura derrota  ::) con la fuerza bruta sobre el UTF, donde se me cayo la cara de vergüenza por ignorante ???, intento dar pelea con este tema :banghead: ...

encontrar un número par que cumpla la conjetura no es imposible, pero si improbable....

para cada  N hay que probar N/2 sumas de numero impares las cuales, en las cuales ninguna puede tener los dos sumandos primos.

si la probabilidad de que un numero sea primo  entre 1 y N es de \( p=\dfrac{cant\,primos\, hasta \, N}{N}=\dfrac{\pi(N)}{N}=\dfrac{\dfrac{N}{\ln N}}{N}=\dfrac{1}{\ln N} \)

la probabilidad de que los dos sumados los sean sera \( \dfrac{1}{\ln^2 N} \)  entonces que un determinado par de números no sea un par de primos tiene una probabilidad de \( 1-\dfrac{1}{\ln^2 N} \)

si la composición de cada par de números es "independiente"  respecto de los demás la probabilidad de que un numero cumpla con la conjetura de Goldbach  debería ser


\( P(N)=\left(1-\dfrac{1}{\ln^2 N}\right)^{\frac N4} \)

esto tiende a cero rápidamente, pero a los matemáticos les gusta ganar la lotería, encontrando esa curioso caso que haga que la probabilidad no sea nula.

Como no soy matemático, pero si bruto,  voy a hacer lo siguiente

  • hacer una lista ordenada ascendente de unos y ceros, donde 1 indica que esa posición corresponde a un numero primo y 0 a un compuesto par o impar, hasta donde he podido crear números primos hasta el 300000000 unos 15 millones de números primos
  • hacer una lista ordenada descendente de esos unos y ceros
  • con esto puedo ver si hay un numero que cumpla la conjetura solo sumando un conjunto cualesquiera de los n primeros números de la primera lista con su correspondiente n números al final de la segunda lista ...
    lo hago de ese modo para poder comparar por lectura de archivos, y no de strings de texto que consumen memoria
  • si el resultado parcial es 0 hemos sumado dos compuestos
  • si el resultado parcial es 1 hemos sumado un primo y compuesto
  • si el resultado parcial es 2 hemos sumado dos primos

  • Si encontrara un n para el cual ninguna de las sumas sea igual a 2, entonces \( N=n+1 \) no cumpliría la conjetura de Goldbach.


Ahora viene lo que demuestra lo ingenuo ,seguro esto ya se ha hecho, probar todas las sumas entre números impares .... hasta que número se ha podido realizar? o cuantos primos mas tengo que crear para hacer algo interesante desde el punto de vista practico.

pensé que invertir el orden de los 0 y 1 iba a ser fácil pero veo que no llevo hora y pico y recién invirtió el primer millón de primos... espero no se corte la luz!!!!

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)