Autor Tema: Conjetura Goldbach por el absurdo

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24 Diciembre, 2019, 03:23 am
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Richard R Richard

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Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Esto es muy fácil, así que omití o erré en algo  obvio, pero dónde?
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 09:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

La notación que has usado ahí me resulta absolutamente críptica. No se que se supone que querías expresar, pero sospecho que está mal escrito.

¿Por qué no lo explicas de manera un poco más informal?. De forma concreta, pero sin necesidad de tantos simbolitos y variables distintas.

Citar
De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Por otra parte una prueba basada en el postulado de Bertrand no tiene visos de estar bien. Y explico por que lo digo. Por ejemplo si retiramos del conjunto de primos el \( 23 \) y el \( 11 \), puedes comprobar que el postulado de Bertrand sigue siendo perfectamente cierto: entre cualquier número y su doble hay primos distintos de \( 11 \) y \( 23 \). Sin embargo no es posible expresar \( 28 \) como suma de dos primos sin usar el \( 11 \) y el \( 23 \).

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 10:06 am
Respuesta #2

feriva

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Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…



Hola, Richard.

Aunque a estas cosas les he dado muchas vueltas, no sé decirte ahora mismo, ya pasará Luis o alguien a revisarlo.

La cantidad mínima de primos que garantiza Bertrand para considerar parejas de primos, que sumen (que podrían sumar) un par “2n”, es “m” tal que \( \dfrac{n}{2^{m}}\geq1
  \). Y, para números sólo un poquito grandes, está bastante por debajo de la cantidad mínima que garantiza la función “pi”. Por eso intuyo algo raro en lo que dices, aunque también es verdad que, para entender las cosas con formalismos, soy todavía peor que para otras cosas de matemáticas.

Feliz Nochebuena.

(*mientras estaba escribiendo ha pasado Luis, tal como vaticinaba).

24 Diciembre, 2019, 11:00 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.


Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 11:24 am
Respuesta #4

feriva

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Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand,


Pero no sabes a priori cómo están distribuidos los primos en (q,2q], de hecho muchos primos de ese intervalo pueden sumar con compuestos de [0,q); puedes buscar ejemplos.

\( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,{\color{magenta}9},10,11,12,(13),14,15,16,{\color{magenta}17},18,19,20,21,22,23,24,25,26
  \)

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 11:45 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.

No, eso no es cierto. Si la conjetura falla para \( N \) lo que se cumple es que para cada \( a \) primo, entonces \( N-a \) es compuesto. Pero si simplemente tomas \( a \) impar pudiera ser que \( N-a \) fuese primo.

Citar
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.

Esto es falso también no es cierto que por el hecho de que la conjetura falle todo número impar entre \( N \) y \( N/2 \) deba de ser compuesto; porque no es cierto que en ese rango todo número impar sea resta de \( N \) con un primo.

Citar
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No acabo de entenderte. También puede ocurrir simplemente que tanto \( a \) como \( N-a \) sean compuestos.

Citar
No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.

Lo que hago es suponer que retiramos al 23 y al 11 del conjunto de primos. ¡Ya no son primos!. Entonces el Postulado de Bertrand seguiría siendo cierto pero la conjetura de Goldbach no. Por eso digo que no es de esperar que usando el primero se pruebe lo segundo.

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 12:48 pm
Respuesta #6

feriva

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Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.


Entiendo que lo veas claro, pero esto engaña mucho.

Tienes que considerar el intervalo N partido en dos; dos números mayores que “q” darán una suma mayor que 2q, dos menores que “q” darán una suma inferior a 2q; esto facilita mucho la visión del problema: \( a\in[0,q)
  \) y \( 2q-a\in(q,2q]
  \)

En el caso de que “q” sea primo, la conjetura se cumple trivialmente; así que partimos de que “q” es compuesto y no consideramos la pareja q+q (suma de compuestos).

Tienes tres tipos de sumas que no cumplen: \( p+c;\, c+c;\, c+p
  \) (“c” de compuesto, “p” de primo) donde la primera posición (izquierda) en los sumandos indica que el “p” o el “c” pertenece a \( [0,q)
  \) y al revés con la segunda posición.

Se demuestra que la cantidad de primos en el intervalo \( (q,2q]
  \) es aproximadamente la tercera parte que en el otro intervalo (Luis lo demostró fácilmente por ahí en un post mío, usando la función “pi”).

Por otra lado, sólo hay que considerar como posibles parejas las de los primos coprimos con \( q \); es trivial. Y también se ver que para los primos coprimos (para pares muy grandes) la proporción es más o menos la misma (lo comprobé con Python).

Todos los primos de \( (q,2q]
  \) son coprimos con “q” (por razones obvias también) y en \( [0,q)
  \) los hay coprimos y no coprimos (donde descartamos los no coprimos). El que haya más o menos coprimos va a depender de la factorización de q (y cada número es un mundo).

Para que la conjetura se cumpliera con seguridad tendría que haber, por lo menos, tantos primos coprimos con q en ambos intervalos; y esto empieza siendo así para los primeros “q”, pero enseguida aparece uno en el que ya hay más primos coprimos en \( [0,q)
  \) que en \( [q,2q)
  \) (tambiénhice un programa y lo comprobé).

Las distancias entre primos son pares, pero no se sabe el “orden” en que se suceden, se estiran y se encogen, por lo que es difícil asegurar qué puede pasar.

Sí es cierto que algo se intuye, pues las parejas que no cumplen (que forman sumas “q” del tipo p+(p+4), p+(p+6)... donde los p son distintos) van “preparando” los siguientes pares a “2q” para que se cumpla la conjetura; yo estoy convencidísimo de que no falla, de que es imposible. Sin embargo, es extremadamente difícil sacar una conclusión que garantice que va a ser así (mira que lo he intentado durante años...)

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 06:36 pm
Respuesta #7

Richard R Richard

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Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

24 Diciembre, 2019, 06:58 pm
Respuesta #8

feriva

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Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.



Espero que encuentres algo interesante.

Feliz Navidad, Richard.

04 Enero, 2020, 03:37 am
Respuesta #9

Richard R Richard

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Después de la dura derrota  ::) con la fuerza bruta sobre el UTF, donde se me cayo la cara de vergüenza por ignorante ???, intento dar pelea con este tema :banghead: ...

encontrar un número par que cumpla la conjetura no es imposible, pero si improbable....

para cada  N hay que probar N/2 sumas de numero impares las cuales, en las cuales ninguna puede tener los dos sumandos primos.

si la probabilidad de que un numero sea primo  entre 1 y N es de \( p=\dfrac{cant\,primos\, hasta \, N}{N}=\dfrac{\pi(N)}{N}=\dfrac{\dfrac{N}{\ln N}}{N}=\dfrac{1}{\ln N} \)

la probabilidad de que los dos sumados los sean sera \( \dfrac{1}{\ln^2 N} \)  entonces que un determinado par de números no sea un par de primos tiene una probabilidad de \( 1-\dfrac{1}{\ln^2 N} \)

si la composición de cada par de números es "independiente"  respecto de los demás la probabilidad de que un numero cumpla con la conjetura de Goldbach  debería ser


\( P(N)=\left(1-\dfrac{1}{\ln^2 N}\right)^{\frac N4} \)

esto tiende a cero rápidamente, pero a los matemáticos les gusta ganar la lotería, encontrando esa curioso caso que haga que la probabilidad no sea nula.

Como no soy matemático, pero si bruto,  voy a hacer lo siguiente

  • hacer una lista ordenada ascendente de unos y ceros, donde 1 indica que esa posición corresponde a un numero primo y 0 a un compuesto par o impar, hasta donde he podido crear números primos hasta el 300000000 unos 15 millones de números primos
  • hacer una lista ordenada descendente de esos unos y ceros
  • con esto puedo ver si hay un numero que cumpla la conjetura solo sumando un conjunto cualesquiera de los n primeros números de la primera lista con su correspondiente n números al final de la segunda lista ...
    lo hago de ese modo para poder comparar por lectura de archivos, y no de strings de texto que consumen memoria
  • si el resultado parcial es 0 hemos sumado dos compuestos
  • si el resultado parcial es 1 hemos sumado un primo y compuesto
  • si el resultado parcial es 2 hemos sumado dos primos

  • Si encontrara un n para el cual ninguna de las sumas sea igual a 2, entonces \( N=n+1 \) no cumpliría la conjetura de Goldbach.


Ahora viene lo que demuestra lo ingenuo ,seguro esto ya se ha hecho, probar todas las sumas entre números impares .... hasta que número se ha podido realizar? o cuantos primos mas tengo que crear para hacer algo interesante desde el punto de vista practico.

pensé que invertir el orden de los 0 y 1 iba a ser fácil pero veo que no llevo hora y pico y recién invirtió el primer millón de primos... espero no se corte la luz!!!!

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Enero, 2020, 10:45 am
Respuesta #10

geómetracat

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Según veo por ahí, parece que ha sido comprobada numéricamente para todos los pares hasta \( 4 \cdot 10^{18} \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Enero, 2020, 12:33 pm
Respuesta #11

feriva

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Hola, Richard. Qué bien que te interese Goldbach; porque se cansa uno un poco ya de ver tanto UT de Fermat por aquí :)

Te doy algunas ideas más por si las puedes aprovechar para algo; yo no saco más en limpio quizá porque no manejo la artillería pesada demasiado bien (límites, cálculo diferencial...) pero tú sí; que te he visto por ahí en el foro de física...

...

Es bastante claro que la conjetura no se cumple por cuestión de probabilidad, como bien dices. Es más, se cumple a contracorriente, como la trucha que sube río arriba: cuanto más baja la densidad de primos, más parejas va habiendo a la larga. Me conformaría con saber por qué razón pasa esto (digo saberlo con cierta concreción, aunque no llegue a demostrarse nada seguro) pero todavía no tengo una idea los suficientemente clara.

Por lo que cuentas de la probabilidad (no nos dice nada) hay que utilizar más cosas además de la función “pi”. Una de ellas es la función phi, la cantidad de números coprimos con el par N. La fórmula para hallar esa cantidad, si no la conocieras (que supongo que sí) la tienes aquí

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Euler

La conjetura es tan esquiva que ni siquiera está demostrada para casos particulares: N múltiplo de 3, ¿la cumple? No se sabe; N compuesto por \( 2^{k}
  \) y sólo dos primos distintos más (un semiprimo por una potencia de 2, vamos) ¿Se sabe si se cumple en particular?; tampoco. Y así con muchas particularidades en las que uno puede pensar; no ocurre como ocurrió con el Teorema de Fermat, donde sí se demostraron, desde hace siglos, algunos casos.

Esto quiere decir que puedes (que podemos, los que queramos intentarlo) suponer que se cumple para un par \( 2^{k}
  \) ó \( 2^{k}p_{1}p_{2}
  \)... ó \( 2^{k}\cdot3
  \)... y si se consigue ya sería un éxito; porque, por lo que yo he buscado por ahí desde hace años, nunca encontré ningún caso particular demostrado (sí sé que hay una acotación con los semiprimos para un N suficientemente grande, que no sé exactamente en qué consiste ahora, y que hizo un matemático chino).

Así que, echando mano de la función phi, la cantidad de coprimos para un par del tipo \( 2p_{1}p_{2}
  \) ó \( 2^{k_{1}}p_{1}^{k_{2}}p_{2}^{k_{3}}
  \) sería, \( N\cdot(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{p_{1}})(1-\dfrac{1}{p_{2}})
  \). Donde, de antemano, ni \( p_{1}
  \) ni \( p_2 \) valen, porque no son coprimos y tiene que sumar N con otro no coprimo, con múltiplos de esos mismos primos.

Esto se ve muy “visualmente” con un ejemplo así (es como yo lo pensé antes de tener nociones de aritmética modular)

\( N=30
  \)

\( {\color{magenta}(0)},1,2,{\color{green}3},4,{\color{blue}5},6,7,8,{\color{green}9},{\color{blue}10},11,12,13,14,{\color{magenta}(15)},16,17,18,19,{\color{blue}20},{\color{green}21},22,23,24,{\color{blue}25},26,{\color{green}27},28,29,{\color{magenta}(30)}
  \)

\( {\color{green}3+27;\,\,9+21}
  \)

\( 5+25;\,\,10,20
  \)...

Los múltiplos casan con múltiplos de sus clase (coprimos con coprimos, no coprimos con no coprimos) lo que significa que va a haber siempre la misma cantidad de coprimos hacia un lado de N/2 que al otro.

Te invito a que consideres, primeramente, investigar los casos \( N=2\cdot3\cdot k=6n
  \) (ya te digo que demostrar esto sería una bomba y, probablemente, la antesala de la demostración completa si alguien lo lograra).

Aquí, aparte de la fórmula de antes, tenemos otra manera de contar los coprimos: quitando los múltiplos de 2 y 3 por el método de inclusión exclusión (https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_inclusi%C3%B3n-exclusi%C3%B3n)

Cantidad de pares que excluimos \( \dfrac{N}{2}
  \)

Cantidad de mútliplos de 3 que quitamos, \( \dfrac{N}{3}
  \)

Pero al excluir estos últimos hemos quitado también pares que ya estaban quitados (6, 12, etc.) y hay que volver a incluirlos; hay que incluir entonces una cantidad de \( \dfrac{N}{6}
  \).

Es decir, los cantidad de números a tener en cuenta es

\( N-\dfrac{N}{2}-(\dfrac{N}{3}-\dfrac{N}{6})=
  \)

\( N(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})=\dfrac{N}{3}
  \).

Por otra parte, habremos quitado todos los coprimos con N en caso de que \( N=2^{k}\cdot3^{k}
  \); si estuviera compuesto de algún primo distinto más (si consideráramos eso) entonces no habríamos quitado todos, sólo algunos; podrías considerar un N múltiplo de 30 y te quedaría un caso particular con menos números a considerar quitando los de 5... etc.

Aquí ya te darás cuenta de que en la medida que quitamos esos números, inservibles, quedan más primos aptos para la suma que buscamos; a la vez que quitamos paja. La situación es un poco más favorable. Sin embargo, todavía es insuficiente, hay que buscar cómo restringir más.

Hay algo relacionado con esta última consideración que lleva a poder restringir una cierta zona.

Si suponemos que un par es múltiplo, por ejemplo, de los primeros primos, 2 y 3 (pongo el ejemplo de antes)

\( {\color{blue}(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)},10,11,12,13,14,({\color{green}15}),16,17,18,19,20,{\color{blue}(21,22,23,24,25,26,27,28,29,30)}
  \)

encontramos dos zonas simétricas hasta la parte entera de \( \sqrt{\dfrac{N}{2}}
  \) elevada al cuadrado, (parte entera de raíz de 15 al cuadrado, \( 3^{2}
  \)).

Todos los compuestos de esa zona de la izquierda son No coprimos con N, al igual que los de la zona derecha (y recordemos que los no coprimos sólo pueden sumar N con no coprimos y viceversa). Todos los compuestos de ahí serán no coprimos porque tendrán que estar compuestos por los primos 2 ó 3 y, a veces junto con éstos, otro primo mayor; pero siendo múltiplos de 2 ó 3... ya son No coprimos pase lo que pase. Esto es así porque es obvio que si se compusieran por dos primos mayores que 3 el producto sería mayor que 9.

Pero no todos los primos de esas zonas son no coprimos, solamente 2,3 (y cinco en el ejemplo, pero no lo he tenido en cuenta). Por esto, siempre que en la dos zonas azules haya primos que sean Sí coprimos... se verán forzados a sumar N entre ellos, nunca con números no coprimos; es decir, se cumplirá Goldbach seguro (ahí, como es múltiplo de 5 y su cuadrado es 25, mayor que N/2, se cumple directamente con eso).

Como ya irás imaginando, por desgracia no siempre hay primos coprimos en las dos zonas azules, con lo que esto no asegura la conjetura tampoco.

Si embargo, para conjeturar, se puede contar como hipótesis con que en esas zonas no hay dos primos que “casen”, lo que implica considerar que no puede haber en la zona de la derecha primos (porque todos los mayores que N/2 son coprimos con N).

Esto te lleva a poder suponer los primos “concentrados” en las zonas restantes, lo que te aumenta la densidad de primos a favor de que se cumpla la conjetura usando la función “pi” contadora de primos; ya que, los primos coprimos son muchos más que los no coprimos en la medida que los N van siendo grandes.

La útlima vez que busqué en internet la conjetura estaba comprobada hasta de 4 hasta una par de \( 10^{14} \) cifras.

Grandecito, eh, vienen a ser como mínimo 2083333333333 primos en el intervalo \( (\dfrac{N}{2},\, N)
  \) (y hay bastantes más, porque la función pi da un mínimo que se queda muy corto para números un poco grandes).

Luego, se puede “mirar”, aunque no se concrete nada, qué va pasando con las sumas, que porqué parece verse

\( {\color{green}0},1,2,3,4,5,6,{\color{magenta}(}7,8,9,10,{\color{magenta}(}11,12,{\color{magenta}(}13,14,15,16,{\color{magenta}(}17,18,{\color{magenta}(}19,{\color{green}20},21{\color{magenta})},22,23{\color{magenta})},24,25,26,27{\color{magenta})},28,29{\color{magenta})},30,31,32,33{\color{magenta})},34,35,36,37,38,39,{\color{green}40}
  \)

En la primera, 19+21, vemos que 21 está compuesto de 3,7, primos menores que 19, que están a la derecha del intervalo; esto es lógico, como son tres números seguidos, tiene que ser múltiplo de 3 en caso de que no sea primo, ya que, el del centro no lo es. En la segunda suma, 17+23, tenemos dentro del intervalo los compuestos, 18, 20,21,22, formados por los primos \( (2_{nocoprimo}),3,(5_{nocoprimo}),7,11 \); de forma que no están a distancia para que otro múltiplos de alguno de éstos sumen con 17 el par N=40; y no quedan más primos posibles, porque 13 es grande \( 2\cdot 13>23 \)...

Y así se puede pensar, ver qué va pasando en cada caso... pero saber qué es exactamente lo que pasa... es difícil, mucho.

Si se mira así, la conjetura tiene puntos de encuentro con otros conjeturas o teoremas; con Fermat, con Beal, con Riemann... Hay que intentar inventar algo para contar coprimos, donde importa distinguir entre libres de cuadrados y no libres.

Por ejemplo, el otro día hice un programa en Python para que me sacara todas las sumas posibles de potencias perfectas mayores que 2 que dieran un par 2n (desde n=1 hasta n=1000). Esto sin mirar si la suma podía ser a su vez una potencia perfecta.

Todas las que hay son éstas veinte:

Spoiler

n= 76 sumandos= 27 125 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 103 sumandos= 81 125 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 184 sumandos= 125 243 potencias respectivas set([3]) set([5])

n= 185 sumandos= 27 343 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 212 sumandos= 81 343 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 234 sumandos= 125 343 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 293 sumandos= 243 343 potencias respectivas set([5]) set([3])

n= 326 sumandos= 27 625 potencias respectivas set([3]) set([4])

n= 353 sumandos= 81 625 potencias respectivas set([4]) set([4])

n= 427 sumandos= 125 729 potencias respectivas set([3]) set([6])

n= 434 sumandos= 243 625 potencias respectivas set([5]) set([4])

n= 484 sumandos= 343 625 potencias respectivas set([3]) set([4])

n= 536 sumandos= 343 729 potencias respectivas set([3]) set([6])

n= 677 sumandos= 625 729 potencias respectivas set([4]) set([6])

n= 679 sumandos= 27 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 706 sumandos= 81 1331 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 728 sumandos= 125 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 787 sumandos= 243 1331 potencias respectivas set([5]) set([3])

n= 837 sumandos= 343 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 978 sumandos= 625 1331 potencias respectivas set([4]) set([3])

[cerrar]

Si pensamos, por ejemplo, en la suma de dos potencias cuartas (de coprimos) que sumen un par hasta 2n=2000, sólo existe una suma: \( 3^{4}+5^{4}
  \).

Luego, vemos que la mayor potencia es 6; encontramos la suma de potencia 3 con una 6, por ejemplo, y otras así, pero no con mayores que 6.

Según la conjetura de Beal, por mucho que siguiera buscando, nunca encontraría que las sumas dieran otro potencia; y se intuye que va a ser así, que no “caben” por culpa de que van apareciendo por orden de tamaño de primos (si existen de no coprimos).

Y tengo más cosas miradas “experimentalmente”, pero no consigo demostrar nada en cuanto algún aspecto de estas cuestiones.

Saludos.

04 Enero, 2020, 06:54 pm
Respuesta #12

Richard R Richard

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Gracias a ambos, recibo un nuevo mazazo a mis espectativas,  ;D
necesitosolo la infima cantidad de  10^8 veces mas números primos de los que calcule, no importa, solo es tiempo de Pc,
pero la dificulta esta tarea es almacenarlos, en 10^18 habrá primos en el orden de los 10^16 con un largo de 18 bit, si con un largo medio de 17 bit por numero lleva unos 600000 terabits de archivo, evidentemente esta fuera de mi alcance. esa era la razón de llevar todo a 1 y 0 con cierto orden para reducir el tamaño de los archivos  aun así necesito unos 1000 terabits para almacenar dicha cadena.


Me has dado algo más para entender y leer feriva, vere que jugo le puedo extraer y te comento.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Enero, 2020, 08:20 pm
Respuesta #13

feriva

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Me has dado algo más para entender y leer feriva, vere que jugo le puedo extraer y te comento.


Espero que sirva para algo.

Cuando miré hasta dónde se había comprobado la conjetura debió de ser en el año 2001; que es cuando estaba sobre la cifra que te decía; ya he visto el dato que ha dado Geómetracat, y también he encontrado una página donde vienen las cantidades que a lo largo del tiempo se han ido contando; y más cosas sobre la conjetura
https://culturacientifica.com/2013/06/26/la-conjetura-de-goldbach/

Yo hace tiempo busqué algún estudio sobre la cantidad de parejas de primos que se han contado para cada par; pero no encontré nada. Es muy interesante, porque van creciendo pero no de una forma monótona. Programando no llego demasiado lejos, en gran parte porque no tengo paciencia para esperar al ordenador, en parte también porque mi ordenador es bastante antiguo, pero pongo algunos resultados para que te hagas una idea

Spoiler
par = 200 cantidad de parejas= 8
par = 202 cantidad de parejas= 9
par = 204 cantidad de parejas= 14
par = 206 cantidad de parejas= 7
par = 208 cantidad de parejas= 7
par = 210 cantidad de parejas= 19
par = 212 cantidad de parejas= 6
par = 214 cantidad de parejas= 8
par = 216 cantidad de parejas= 13

...
par = 2000 cantidad de parejas= 37
par = 2002 cantidad de parejas= 44
par = 2004 cantidad de parejas= 59
par = 2006 cantidad de parejas= 35
par = 2008 cantidad de parejas= 28
par = 2010 cantidad de parejas= 84
par = 2012 cantidad de parejas= 27
par = 2014 cantidad de parejas= 35
par = 2016 cantidad de parejas= 73

par = 20000 cantidad de parejas= 231
par = 20002 cantidad de parejas= 176
par = 20004 cantidad de parejas= 337
par = 20006 cantidad de parejas= 201
par = 20008 cantidad de parejas= 180
par = 20010 cantidad de parejas= 477
par = 20012 cantidad de parejas= 166
par = 20014 cantidad de parejas= 174
par = 20016 cantidad de parejas= 335
par = 20018 cantidad de parejas= 164
par = 20020 cantidad de parejas= 329
...
par = 200000 cantidad de parejas= 1417
par = 200002 cantidad de parejas= 1172
par = 200004 cantidad de parejas= 2547
par = 200006 cantidad de parejas= 1071
par = 200008 cantidad de parejas= 1113
par = 200010 cantidad de parejas= 2884
...
[cerrar]

Si te fijas, en los pares que tienen dos o tres cifras, el número que da las parejas tiene una o dos, más o menos la mitad. Con pares de cinco cifras ya tiene tres y con pares de seis cifras, tiene cuatro... Sólo con eso se ve cómo aumentan, pese a lo que desciende la densidad; sorprendente, ¿verdad? También se puede observar que la cantidad de parejas suele aumentar prácticamente siempre al llegar a un múltiplo de 3.
Suponiendo que la conjetura se dejase de cumplir, ¿podría hacerlo bruscamente? Para lograrlo, tendrían que romper ese “ritmo” creciente bruscamente, empezar a descender en valor cientos, miles, decenas de miles... de unidades.
No puedo seguir, ya te digo, el ordenador no me da para mucho, pero sí he generado un par arbitrario de 500 cifras y me he cansado de contar parejas; no he podido contarlas todas. Por eso me gustaría ver si existe un estudio en este sentido, alguna predicción sobre el aumento, alguna fórmula... no sé, algo así.

Saludos. 

04 Enero, 2020, 10:19 pm
Respuesta #14

Richard R Richard

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Hola el tema es que al hallar solo 1 par de primos que sumados obtengas el número par n, listo ese número cumple la conjetura, para qué seguir contando, pasas al siguiente n+2... y progresas más rápido
 obviamente si estudias qué cantidad de pares de primos que  suman el mismo número par, es obvio que debes seguir....

Pero cada vez me convenzo más de que  a quien se le ocurre que existirá un número que no lo cumpla, >:D, bueno yo se que les gusta demostrarlo, pero valdrá la pena!!! , pregunto existe un número par superior al millón y menor a 10 millones , que sea suma de un único par de primos? yo creo que ningún numero tiene una posiblidad entre 1e+800 y 1e+4000 aproximadamente, es decir  marcar un átomo ,  mezclarlo y colocarlo en el centro de la tierra y escojer uno al azar y  volverlo a encontrar es mucho mas facil y probable!!!.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Enero, 2020, 11:55 pm
Respuesta #15

feriva

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Hola.



Pero cada vez me convenzo más de que  a quien se le ocurre que existirá un número que no lo cumpla, >:D, bueno yo se que les gusta demostrarlo, pero valdrá la pena!!! , pregunto existe un número par superior al millón y menor a 10 millones , que sea suma de un único par de primos? yo creo que ningún numero tiene una posiblidad entre 1e+800 y 1e+4000 aproximadamente, es decir  marcar un átomo ,  mezclarlo y colocarlo en el centro de la tierra y escojer uno al azar y  volverlo a encontrar es mucho mas facil y probable!!!.

Editado

Lo veo difícil, sí.

Ahora he estado mirando a “grandes rasgos”

En el par 1000000 hay 5402 parejas.

En 1000500 hay 15164



En 20000000 hay 70730

En 200000000 hay 538290
(y ya no puede mucho más el Python)


Citar
el tema es que al hallar solo 1 par de primos que sumados obtengas el número par n, listo ese número cumple la conjetura, para qué seguir contando, pasas al siguiente n+2... y progresas más rápido

Digo lo de investigar las parejas porque se ven cosas curiosas a veces, como las subidas en los múltiplos de tres, es algo que se produce siempre (no sé si en alguna ocasión pasa que baje respecto del número anterior, pero si pasa, son casos muy excepcionales).

Comprobarla para más pares... está bien si “ganas” a los que ya han comprobado muchos, pero se ve difícil superarles, porque ellos seguirán ahí con sus ordenadores echando humo.

Saludos.

05 Enero, 2020, 03:03 pm
Respuesta #16

Richard R Richard

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Gracias por seguirme la corriente.... :laugh:

Los múltiplos casan con múltiplos de sus clase (coprimos con coprimos, no coprimos con no coprimos) lo que significa que va a haber siempre la misma cantidad de coprimos hacia un lado de N/2 que al otro.

Bueno me costo verlo

Si N es el número par  es decir \( N=2\cdot p_i^{k_i}\cdot...\cdot p_n^{k_n} \) cualquier primo de los \( p_i \) seguro tiene una pareja que es no primo.

Aquí ya te darás cuenta de que en la medida que quitamos esos números, inservibles, quedan más primos aptos para la suma que buscamos; a la vez que quitamos paja. La situación es un poco más favorable. Sin embargo, todavía es insuficiente, hay que buscar cómo restringir más.
No se si te sigo, en realidad lo que nos interesa es que no queden primos aptos, luego si eliminamos todos lo primos de la lista el número no cumple que sea la suma de dos primos.

 

Como ya irás imaginando, por desgracia no siempre hay primos coprimos en las dos zonas azules, con lo que esto no asegura la conjetura tampoco.

Aquí despiste , un coprimo de otro número es aquel número que puede ser o no primo cuyo mcd es uno con ese número, luego todos los primos son coprimos entre sí, no entiendo qué me intentas explicar con esa frase. Entiendo que cuando hablas de número coprimo lo haces en referencia a que es coprimo de N, y si es un número primo y a la vez no es coprimo de N entonces es un divisor de N. O me equivoco?.




Pero con todo eso me has dado una idea de cual es el número que sí o sí, no va a satisfacer la conjetura de Goldbach.

si \( p_i \) es el i ésimo número primo.

Sabemos que los números primos son infinitos por https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides

pero si defino N como \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es decir el máximo primorial ese número no cumple la conjetura de Goldbach.

ya se, ya se,.... me dirán que entre N y el máximo \( p_i \) puede haber primos mayores que sumados entre sí, si cumplan la conjetura, pero como defini \( N \)  incluye todos los primos , así que  esos número también están incluidos.  y si nos los hubiera también contradice el teorema de Bertrand  *

Porque ese número lo cumple es simple  podemos escribir N de ese modo \( N=K\cdot p_i  \) sacando factor común cualquier primo de la productoria.

cuando busquemos el número \( N-p_i \) pareja de \( p_i \) para sumar \( N \) encontraremos que \( N-p_i=K\cdot p_i-P-i=(K-1)\cdot P_i \Longrightarrow{}(compuesto) \)

luego cada primo debe sumar a un número compuesto si o si , luego N no cumple la conjetura....

No se si lo expuesto será mejor que un chiste, o es de perogrullo, o cual es el inconveniente al definirlo de ese modo.

* Intentar demostrar la conjetura  es como encontrar el antídoto al  Teorema de Bertrand–Chebyshev donde si no existiera este teorema, finalmente encontramos un número que cumpla la conjetura ya que habría tamaños de gaps luego de un primo mayor que el propio primo, luego si un gap de tamaño \( p_i+2 \) luego del primo p_i entonces cualquier suma para obtener \( N=2p_i+2 \) estaría formada por al menos un número compuesto.

Yo imagino la búsqueda de un numero que cumpla la conjetura como dos serruchos con dientes aleatorios que deben enfrentarse y coincidir cada punta con un hueco, los serrucho uno va de derecha a izquierda y el otro a la inversa, y tienen una punta siempre a la distancia de un numero primo.



allí represente el 102

y se ve que hay 9 juegos de primos que se tocan, para el 104 se agregan dos unidades en los extremos y se corre el serrucho dos casilleros y se revisan las coincidencias, hay que notar que hay doble repetición pero contamos solo una es decir aparece el 1+101 y el 101+1 , también el 97+5 y el 5+97 pero solo contamos uno de los casos, el cual lo circule en azul.

De ese modo es más evidente que es una cuestión probabilística de que uno entre dentro del otro reduciendo al mínimo la separación entre los serrucho que se veria así




Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

05 Enero, 2020, 06:10 pm
Respuesta #17

feriva

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Hola, Richard


No se si te sigo, en realidad lo que nos interesa es que no queden primos aptos, luego si eliminamos todos lo primos de la lista el número no cumple que sea la suma de dos primos.

Por ejemplo, 36 es múltiplo de tres, \( \dfrac{N}{3}=\dfrac{36}{3}=12  \); así nos quedan sólo 12 números útiles, si quitas sólo los pares, te quedan 18, de esta manera quitas más (si es múltiplo de 3; si es mútliplo de 5 u otro pues habría que calcular cuántos quitamos).

Quitamos todos los múltiplos de 3 más los pares

\( {\color{green}(0}),1,{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,{\color{red}8},{\color{red}9},{\color{red}10},11,{\color{red}12},13,{\color{red}14},{\color{red}15},{\color{red}16},17,{\color{green}(18)},19,{\color{red}20,21,22},23,{\color{red}24},25,{\color{red}26,27,28},29,{\color{red}30},31,{\color{red}32},{\color{red}33,34},35,({\color{green}36})  \)

Quedan 12 pero en realidad podemos quitar el 1 y el 35 y serían 10, la última pareja, que no vale.

Ahí no se nos ha ido ningún primo de los que pueden sumar con otro primo; 3 tiene que sumar con otro mútliplo de 3.

La parte entera de \( \pi(36)  \) es 10; y en el intervalo (N/2, N), o sea, (18,36) se calcula que el límite tiende a la tercera parte de \( \pi(N)  \), que serían 3 primos. (esto de la tercera parte lo calculó Luis, no era difícil pero no me acuerdo).

No, esto creo que era que en (N/2, N) hay la tercera parte que en (0,N/2); o sea, serían

\( \pi(36)=10=(k+\dfrac{k}{3})
  \)

saldrían 2,51; sí, redondeando sale 3 se puede decir.


Spoiler

Vemos que hay cuatro en realidad, no tres; porque la “pi” se queda corta al ser una cantidad mínima de primos, no la real, pero esto no lo sabríamos, no sabríamos cuántos más hay en planteamiento teórico, tenemos que tomar lo que nos da la función.

[cerrar]

Y vemos que pese a los números que hemos quitado no le resta nada a los de la función pi que consideramos, no influye, porque todos los primos mayores que (N/2) son coprimos con N.

Es decir, si tienes N=300, por ejemplo, y además de los múltiplos de 3 y los pares quitas también los de 5, incluido el 5 (que sumará 300 con otro múltiplo de 5 y no con un primo), tampoco pasa nada, quitas números sin que influya en los primos que te interesa.

Citar
Aquí despiste , un coprimo de otro número es aquel número que puede ser o no primo cuyo mcd es uno con ese número, luego todos los primos son coprimos entre sí, no entiendo qué me intentas explicar con esa frase. Entiendo que cuando hablas de número coprimo lo haces en referencia a que es coprimo de N, y si es un número primo y a la vez no es coprimo de N entonces es un divisor de N. O me equivoco?.

Considero coprimos con N (o digamos N=2n, así se dice que no son pares de una tacada).

Dos primos que suman un par, no pueden tener mcd  distinto de 1 con el par, es decir:

\( q+p=2n  \)

Si n es múltiplo de “p” ó “q”, sin perder generalidad

\( q+p=2kp  \)

\( q=2kp-p  \)

y sacando factor “p”

\( q=p(2kp-1)  \)

Resulta que p es producto de dos factores mayores que 1 y no puede ser primo; no lo pueden ser los dos. q y p. Por eso puedes prescindir de los que sean no coprimos con N.

Eso que dije en la otra respuesta es precisamente para números que son producto de un cierto primorial. Por ejemplo

\( 2\cdot3\cdot7=42  \); aquí el 7 salta, no va a seguido, tenemos que tener encuentra los primos 2 y 3 para lo que se va a ver

\( {\color{blue}0,1,2,3}{\color{blue},4,}5,{\color{blue}6,7,8,9,10,}11,{\color{blue}12,}13,{\color{blue}14,15,16,}17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}  \)

\( (21)  \)

Todos los compuestos hasta 21 están formados por los primos 2 y/o 3; por ejemplo, 15 es múltiplo de 5, que es mayor, pero es múltiplo de 3, y así pasa con todos. Esto es así porque el siguiente primo a 3 es 5 y. para formar un compuesto sin el 2 ni el 3, ya hay que recurrir a su cuadrado, 25, que en este caso es mayor incluso que (N/2)=21. Y ahí hay primos aparte del 2 y el 3, sí, pero son coprimos todos y en el otro lado no pueden sumar con no coprimos.

Esto garantiza directamente que la conjetura se cumpla; para verlo escribo el intervalo (N/2, N)

\( {\color{blue}22},23,{\color{blue}24},25,{\color{blue}26,27,28},29,{\color{blue}30},31,{\color{blue}{\color{blue}32},33,34,35,36},37,{\color{blue}38,39,40},41,  \)

\( (42)  \)

Como se ve, todos los no coprimos vienen dados en la misma cantidad que en el otro intervalo (que son todos compuestos, quitando el 2 y el 3 que son no coprimos) y tienen que “casar con ellos”, de forma que a los primos coprimos (5,7 etc) no les queda más remedio que emparejarse con todos los coprimos que haya en la zona simétrica; en este caso el postulado de Bertrand asegura que al menos hay un primo entre los coprimos del otro lado.

Esto mismo, con otro ejemplo, con otros números, puede ocurrir en una zona más corta (que no ocupe completamente los dos intervalos) y puede suceder que en la zona simétrica haya algún primo o no; en cuyo caso, si no hay, no es seguro que se cumpla debido a esto. Entonces, si supones que no hay (porque si hay se cumple) los primos que consideres mediante la función pi dentro del intervalo (N/2, N) los consideradas fuera de ese tramo extremo y por tanto más concentrados dentro del intervalo.

Después leo tu idea despacio y si puedo te digo; si no, pues ya te dice Luis o alguien, que lo analizará mejor que yo.

Saludos.

05 Enero, 2020, 07:19 pm
Respuesta #18

feriva

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Pero con todo eso me has dado una idea de cual es el número que sí o sí, no va a satisfacer la conjetura de Goldbach.

si \( p_i \) es el i ésimo número primo.

Sabemos que los números primos son infinitos por https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides

pero si defino N como \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es decir el máximo primorial ese número no cumple la conjetura de Goldbach.



Efectivamente, ese “número” no cumple la conjetura del Goldbach, pero lo que pasa es que no es un entero, ni siquiera es un número real, porque el primorial no tiene máximo. Tú estás pensando en un producto de infinitos primos, y eso no es un número, es una “cosa”, la cantidad de cifras de un número entero es siempre finita. Si consideras un número que no acaba nunca, ya no está definida su divisibilidad; no acaba en cifra par o no, porque no acaba... no es par ni impar, ni nada, no es un entero; no cumple cosas mucho más necesarias :)

Saludos.

05 Enero, 2020, 11:45 pm
Respuesta #19

Richard R Richard

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Espero que no te resulte molesto que tire de la cuerda con esto, pero siento  como que me has dejado meter el pan en la olla mientras se cocina la salsa...

Efectivamente, ese “número” no cumple la conjetura del Goldbach, pero lo que pasa es que no es un entero,

Vamos todavía que no estoy loco!!! alguien tiene la misma alucinación que yo!!!

Pero es discutible o demostrable, por inducción, defino el primer primo , conjeturo para n y demuestro para n+1 , no era así? el producto de enteros siempre es entero... con n arbitrariasmente grande cual sería la diferencia.


ni siquiera es un número real,

si es entero entonces pertenece a los reales.

porque el primorial no tiene máximo.

tampoco está definido el máximo de los números  primos , ni el contenido total del conjunto de los números primos, pero el conjunto aún así definido existe y si se afirma que ese número no existe , no existe el número que cumpla la conjetura en el que cada primo tiene como pareja un compuesto. Con lo que queda demostrada tanto porque o bien  no existe el número, o bien porque si existe va en contra del teorema de Bertrand...que es lo que trataba de decir sin haber leído al menos  la wikipedia, en mis primeros mensajes.

Tú estás pensando en un producto de infinitos primos, y eso no es un número, es una “cosa”, la cantidad de cifras de un número entero es siempre finita.


cuantas cifras tiene el el mas grande de los números primos que se te ocurra definir...aun así lo consideramos como un entero....

Si consideras un número que no acaba nunca, ya no está definida su divisibilidad;
Por el contrario lo que no sabemos es cómo empieza, seguro termina en 0 ya que es múltiplo de 2 y de 5 por definición la segunda cifra la de las decenas es 1,3,7 o 9  ya que el resto de los primos termina en esos 4 números.

no acaba en cifra par o no,porque no acaba...no es par ni impar,
Si es par porque es múltiplo de 2 por definición. reitero sabemos como acaba, pero no cuando como ni con que empieza.

Entiendo que definir el numero \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es llevar al limite la eliminación de los coprimos de N , produce el mismo efecto que eliminar todos los coprimos de 2,3,5,7,11... solo dejas los compuestos para la segunda mitad del intervalo, que no tendrá coprimos , deberá contradecir el teorema de Bertrand.

Gracias por compartir tus ideas, Saludos

 
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)