Autor Tema: Duda sobre el producto de un escalar por una matriz

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18 Diciembre, 2019, 01:00 am
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Álvaro de Arpatinnos

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Buenas noches.

Sean \( A \in{\mathbb{K}^{m\times n}} \) y \( \alpha \in{\mathbb{K}} \) me gustaría saber si \( \alpha A = A \alpha \) y, en el caso de que esta igualdad fuera cierta, si se podría decir que el producto de un escalar por una matriz cumple la propiedad conmutativa.

Gracias y saludos.

18 Diciembre, 2019, 10:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( A \in{\mathbb{K}^{m\times n}} \) y \( \alpha \in{\mathbb{K}} \) me gustaría saber si \( \alpha A = A \alpha \) y, en el caso de que esta igualdad fuera cierta, si se podría decir que el producto de un escalar por una matriz cumple la propiedad conmutativa.

Si claro, es cierta entendiendo que \( \Bbb K  \) es un cuerpo (conmutativo)y  que como parece natural definimos las matrices \( (\alpha A),(A\alpha)\in{\mathbb{K}^{m\times n}} \) como:

\( (\alpha A)_{ij}=\alpha\cdot A_{ij} \)
\( (A \alpha)_{ij}=A_{ij}\cdot \alpha \)

La conmutatividad del producto en \( \Bbb K \) garantiza que \( \alpha\cdot A_{ij}=A_{ij}\cdot \alpha \).

En cuanto a decir que el producto escalar por una matriz cumple la propiedad conmutativa, digamos que coloquialmente se podría decir, pero formalmente no creo que se use ese término. La propiedad conmutativa normalmente se refiere a operaciones internas en un conjunto:

\( \oplus: A\times A\to A,\qquad a\oplus b=b\oplus a \)

El producto de una matriz por un escalar es una operación externa:

\( \Bbb K\times \mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{m\times n} \) si la defines por la izquierda

ó

\( \mathbb{K}^{m\times n}\times \Bbb K\to \mathbb{K}^{m\times n} \) si la defines por la derecha

Son operaciones distintas desde un punto de vista riguroso.

Saludos.

18 Diciembre, 2019, 12:34 pm
Respuesta #2

Álvaro de Arpatinnos

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Hola

Sean \( A \in{\mathbb{K}^{m\times n}} \) y \( \alpha \in{\mathbb{K}} \) me gustaría saber si \( \alpha A = A \alpha \) y, en el caso de que esta igualdad fuera cierta, si se podría decir que el producto de un escalar por una matriz cumple la propiedad conmutativa.

Si claro, es cierta entendiendo que \( \Bbb K  \) es un cuerpo (conmutativo)y  que como parece natural definimos las matrices \( (\alpha A),(A\alpha)\in{\mathbb{K}^{m\times n}} \) como:

\( (\alpha A)_{ij}=\alpha\cdot A_{ij} \)
\( (A \alpha)_{ij}=A_{ij}\cdot \alpha \)

La conmutatividad del producto en \( \Bbb K \) garantiza que \( \alpha\cdot A_{ij}=A_{ij}\cdot \alpha \).

En cuanto a decir que el producto escalar por una matriz cumple la propiedad conmutativa, digamos que coloquialmente se podría decir, pero formalmente no creo que se use ese término. La propiedad conmutativa normalmente se refiere a operaciones internas en un conjunto:

\( \oplus: A\times A\to A,\qquad a\oplus b=b\oplus a \)

El producto de una matriz por un escalar es una operación externa:

\( \Bbb K\times \mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{m\times n} \) si la defines por la izquierda

ó

\( \mathbb{K}^{m\times n}\times \Bbb K\to \mathbb{K}^{m\times n} \) si la defines por la derecha

Son operaciones distintas desde un punto de vista riguroso.

Saludos.

Muchas gracias por una respuesta tan esclarecedora.

Saludos.