[Luis Fuentes]

Hola

Trato de poner un ejemplo: Trabajo en  \( \Bbb Z[\sqrt{-2},i] \)  y descompongo el factor:  \( a+bi \)  en 2 factores primos de la forma:  \( c+i\sqrt{2} \)   \( \wedge \)  \( c-i\sqrt{2} \) .  El resultado es:  \( c^2+2 \) .  ¿Dónde está la raíz de -1 ?  Porque:  \( a+bi=a+b\sqrt{-1} \)  y debe haber algún factor primo que la aporte.  La razón, entiendo, es que  " \( \sqrt[ ]{-1} \) "   \( \wedge \)   " \( \sqrt[ ]{2} \) "  son linealmente independientes sobre  \( \mathbb{Q} \) .

Pongo otro ejemplo:  Los factores primos:  \( c+\sqrt{-2} \)   \( \wedge \)  \( ci-\sqrt{-2} \) .  Los conjugo:  \( c^2i-c\sqrt{-2}(1-i)+2 \) .  Ahora sí tengo la raíz de -1, pero también la raíz de -2. ¿Y cómo puede ésta última dividir á  \( a+bi \) ?    

No lo veo. Si piensas que es cierto lo que dices demuéstralo claramente o busca una referencia donde esté probado.

Cuando tenemos por ejemplo que \( (3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=5 \) lo que se ve es que un número entero usual puede tener factores donde aparezca la raíz de dos. De igual forma y en general:

\( ((a+bi)+(c+di)\sqrt{2})((a+bi)-(c+di)\sqrt{2}) \)

son dos factores en cuyo producto no aparece la raíz de dos.

En realidad si te fijas en ningún momento te he criticado categóricamente lo que haces. Mi problema es que no tengo apenas intuiciones en como funcionan las cosas en ese anillo bicuadrático. Pero lo que si tengo claro es que hay que ser prudente, es decir, no se puede ir tan "alegremente" como cuando uno trabaja simplemente con enteros. Entonces debes de justificar con referencias o explícitamente los argumentos que usas.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola,

Tenemos que:  \( (a+bi)(a-bi)=(y+b\sqrt{-2})(y-b\sqrt{-2}) \) .  Supongamos que  " \( a+bi \) "  no es primo (en realidad es un cuadrado pero eso no afecta a lo que voy a decir). Entonces dividirá a parte de  " \( y+b\sqrt{-2} \) "  -y- a parte de  " \( y-b\sqrt{-2} \) " .

Luego:  \( (a+bi)\cdot c=y+b\sqrt{-2} \) .  Como trabajamos en  \( \Bbb Z[\sqrt{-2},i] \) .  Entonces  \( c\in{\Bbb Z[\sqrt{-2},i]} \) .  Y :

-  " \( c \) "  puede ser un entero. Pero el producto nunca sería igual á:  " \( y+b\sqrt{-2} \) "

-  " \( c \) "  puede ser de la forma:  \( d+ei \) .  Pero entonces tendríamos:  \( (ad-be)+(ae+bd)i \) .  Que no es asimilable á  \( y+b\sqrt{-2} \) .

-  " \( c \) "  puede ser de la forma:  \( d+e\sqrt{-2} \) .  Pero entonces tendríamos:  \( ad+bdi-be\sqrt{2}+ae\sqrt{-2} \) .  Que igualmente no es asimilable á  \( y+b\sqrt{-2} \) .  Entre otras cosas porque:  \( \sqrt{2}\not\in{\Bbb Z[\sqrt{-2},i]} \) .

Y :  " \( c \) "  podría ser también una combinación lineal de las 2 formas anteriores:  \( d+ei+f\sqrt{-2} \) .  Y entonces tendríamos:  \( (ad-be)+(ae+bd)i-bf\sqrt{2}+af\sqrt{-2} \) .  Que tampoco es asimilable á:  \( y+b\sqrt{-2} \) .

Luego tenemos que concluir que  \( a+bi \)  divide á:  \( y+b\sqrt{-2} \)  ó á:  \( y-b\sqrt{-2} \) .  Y que esto, como hemos visto, no es posible.

Sdos       

[feriva]

Hola, Fernando.

He encontrado un PDF en español sobre toda ésta toería algebraica de números y demás, te lo paso por si te interesa.

http://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/10651/47540/6/TFG_DairaPintoPrieto.pdf

Spoiler

Hola,

Tenemos que:  \( (a+bi)(a-bi)=(y+b\sqrt{-2})(y-b\sqrt{-2}) \) .  Supongamos que  " \( a+bi \) "  no es primo (en realidad es un cuadrado pero eso no afecta a lo que voy a decir). Entonces dividirá a parte de  " \( y+b\sqrt{-2} \) "  -y- a parte de  " \( y-b\sqrt{-2} \) "

Ya supongo que en este caso se considerará algo especial que yo no sé o que no he pensado despacio; pero, en general, para enteros corrientes, no es obligatorio que pase eso. Por poner cualquier ejemplo, \( 4\cdot18=8\cdot9
  \); donde 4 sólo divide a 8; 18 sí divide a una parte de cada uno.

[cerrar]

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola, Fernando.

He encontrado un PDF en español sobre toda ésta toería algebraica de números y demás, te lo paso por si te interesa.

http://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/10651/47540/6/TFG_DairaPintoPrieto.pdf

Spoiler

Hola,

Tenemos que:  \( (a+bi)(a-bi)=(y+b\sqrt{-2})(y-b\sqrt{-2}) \) .  Supongamos que  " \( a+bi \) "  no es primo (en realidad es un cuadrado pero eso no afecta a lo que voy a decir). Entonces dividirá a parte de  " \( y+b\sqrt{-2} \) "  -y- a parte de  " \( y-b\sqrt{-2} \) "

Ya supongo que en este caso se considerará algo especial que yo no sé o que no he pensado despacio; pero, en general, para enteros corrientes, no es obligatorio que pase eso. Por poner cualquier ejemplo, \( 4\cdot18=8\cdot9
  \); donde 4 sólo divide a 8; 18 sí divide a una parte de cada uno.

[cerrar]

Gracias feriva. No he contestado antes porque estoy griposo. Sdos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Tenemos que:  \( (a+bi)(a-bi)=(y+b\sqrt{-2})(y-b\sqrt{-2}) \) .  Supongamos que  " \( a+bi \) "  no es primo (en realidad es un cuadrado pero eso no afecta a lo que voy a decir). Entonces dividirá a parte de  " \( y+b\sqrt{-2} \) "  -y- a parte de  " \( y-b\sqrt{-2} \) " .

Luego:  \( (a+bi)\cdot c=y+b\sqrt{-2} \) . 

Eso ya no lo veo. Ahí estás escribiendo que \( a+bi \) divide a \( y+b\sqrt{-2} \); pero precisamente si no es primo no tienes garantizado que eso ocurra. Es decir, por ejemplo, \( 12\cdot 30=18\cdot 20 \) pero en esa expresión ningún factor divide a otro.

Saludos.