Hola Feriva
Aprecio tu explicación, pero la formalidad carece de gracia; la gracia está en el hallazgo, la explicación formal viene después. Pues, si de ante mano se contase con la explicación de todo, no habría ciencia.
Tal es así, qué, si se tuviera presente "tu explicación" -para resumir, se entiende- sería un lugar común "la relación que describí" -para resumir, se entiende- en los libros de matemáticas y se lo citaría junto a cualquiera de los otros métodos de factorización que usualmente se nombran al efecto.
Cosa ésta, que era lo que esperaba comentaras en respuesta a esas 2 primeras preguntas;
1- Si es práctico para obtener la diferencia de cuadrados en la factorización.
2- Si tal vez Fermat lo utilizó en la factorización de 100895598169.
Luego, sobre la tercera pregunta sobre el caso 7 era si podías ver que las diferencias son de 1 cuadrado menos 2;
de 37 a 36 = -1 o sea (1)
de 47 a 49 = 2 o sea (4)
de 57 a 64 = 7 o sea (9)
de 67 a 81 = 14 o sea (16)
de 77 a 100 = 23 o sea (25)
.......y así...al infinito......
..y lo mismo con el resto.
Aquí te muestro un caso de descenso infinito nunca comentado;
1 2 4 8 16 32 64..........
1 3 9 27 81 243...........
1 4 16 64 256..............
1 5 25 125 625............
..................................
Además de la lectura que ya sabemos, hay una más que nunca vi comentada, ¿te animas a intentar ver cuál es y describirla?, te la dejo en la línea, es más, a riesgo que ahora me digas que "eso lo sabe cualquiera".
Saludos.
¿Formal yo? Pero si las cuatro cosas que explico por el foro, que suelen ser todas muy básicas, las explico “hablando”.
Lo que he contado no es un invento mío; de una u otra manera, claro que viene en los libros (yo no sé ahora, pero cualquier usuario te podrá citar algún libro que diga que el resto de dividir un número entre 9 es la suma de sus cifras y lo explique). Pruébalo con los números que quieras
\( 124=13\cdot9+7
\); donde 7=1+2+4
Porque, haciéndolo ver también de otra manera, es
\( 124=100+20+4=(99+{\color{blue}1})+(9+9+{\color{blue}2})+({\color{blue}4})
\).
...
La explicación de los cuadrados se puede detallar más
\( (5+1)(5+1)
\), multiplicando por la distributiva
\( {\color{blue}5}\cdot5+{\color{blue}5}\cdot1+1\cdot{\color{blue}5}+1
\)
Todos son múltiplos de 5 menos el 1; pues el resto es uno módulo 5.
...
\( (5+2)(5+2)=
\)
\( {\color{blue}5}\cdot5+{\color{blue}5}\cdot2+2\cdot{\color{blue}5}+2\cdot2
\)
Todos son múltiplos de 5 menos el 2*2=4; pues el resto es 4 al dividir entre 5.
...
\( (5+3)(5+3)=
\)
\( {\color{blue}5}\cdot5+{\color{blue}5}\cdot3+3\cdot{\color{blue}5}+3\cdot3
\)
Todos son múltiplos de 5 menos el 9, que es 5+4; luego otra vez resto 4 al dividir entre 5...
Así, con \( (5+4)(5+4)
\), por las mismas, el resto es 16=5+5+5+1, otra vez resto 1; después \( (5+5)(5+5)
\) resto cero y ya no salen restos nuevos: el siguiente es 6*6=36=35+1... resto 1 otra vez; el siguiente 7*7=49=45+4, resto 4...
Y ocurre que 0,1,4 son cuadrados perfectos; pero esto no va a pasar siempre para cualquier (a+1)²; (a+2)²...
Ahora, viendo los restos cuadráticos y lo otro, analiza lo de las diferencias y los cuadrados 1,4,9... y verás que no hay ningún misterio paranormal.
Saludos.
