Hola Feriva
Gracias por tu aporte.
Fermat no dijo la verdad acerca de "su visión" sobre el descenso infinito; no le dijo la verdad a Huygens, se puede apreciar en una de sus últimos intercambios que Fermat busca saber "qué cosa sabía" Huygens y nunca tuvo interés en revelarle nada......no le legó ningún testamento como algunos creen.
Si hasta hay registro de una disputa con Frénicle y Wallis -no recuerdo el tema en particular-, donde Mersenne interviene exigiéndole insistentemente que exponga su método cuando la relación se tensó......cosa que hizo pero disfrazando el argumento -la matemática lo permite- pero no dijo la verdad.
Luego, por otra parte, debemos dejar de insistir con creer que se trata de una invención, más allá que hasta incluso él utilizó esa expresión en alguna que otra carta; las matemáticas se descubren, no se inventan.
Mira, te mostraré algo que no vi en ninguna parte, pero encontré influenciado por el libro de Thomas Taylor.
Toma cualquier número terminado en cinco, réstale 2, eleva al cuadrado la suma de sus cifras y obtendrás el cuadrado inmediato y toda la secuencia de cuadrados y a su vez ciertas diferencias -cuadrados en el caso 5- con respecto a ese número obviamente;
25 - 2 = 23, luego 2+3= 5 y 5^2 = 25
35 - 2 = 33, luego 3+3= 6 y 6^2 = 36
45 - 2 = 43, luego 4+3= 7 y 7^2 = 49
..............y así hasta el infinito....
O sea;
de 25 a 25 = 0
de 35 a 36 = 1
de 45 a 49 = 4
de 55 a 64 = 9
de 65 a 81 = 16
de 75 a 100 = 25
........y así..........
.....ad infinitum...
(¿hace falta que diga para qué se puede utilizar esto?)...
(¿y si él lo utilizó para el caso de ..................... ?)....
Eso se puede analizar, tiene una explicación relativamente sencilla.
Los números en base diez utilizan 10 símbolos desde el cero hasta el 9. Si, por caso, un número tiene dos cifras, es la suma de un múltiplo de 10 menor que 100 (10,20,30...90) y un número menor que 10, donde el máximo es 9. Esto quiere decir que si dibividimos, por ejemplo, 17 entre 10, el resto es 7, o sea, la suma de sus cifras menos uno:
Tenemos 10+7=17; entonces 1+7-1=7, es el resto de dividir 17 entre 10.
Con 27 es análogo, \( 2\cdot10+7
\); el resto al dividir entre 10 es 7, esto es \( 2+7-2 \) Y así con los demás dígitos.
Ahora es fácil ver y entender que al dividir 17 entre (10-1=9) una unidad menos que antes, el resto es una unidad más grande que al dividirlo entre 10; y, claro, coincide con la suma de sus cifras: si antes era 1+7-1 ahora, al dividir entre 9, es \( 1+7-1+1=1+7=8 \). Del mismo modo, si 27=20+7; el resto es 2+7-1=8... y de este modo con el número que sea.
Entonces, aquí
25 - 2 = 23, luego 2+3= 5 y 5^2 = 25
tenemos \( 23=20+3 \), resto 2+3 la dividir entre 9; es decir: \( 23=9k+5=9k+(2+3)
\) (en este caso particular k=2).
Spoiler
Por otra parte más, le “resto” -2 modulo 9 (al dividir entre 9) es equivalente a 9-2=7; con lo que podemos cambiarlo y encontrar la misma curiosidad
25 +7 = 32, luego 3+2= 5 y 5^2 = 25.
Después, podemos sumar 10 a ambos lados y se mantiene la equivalencia
\( 25-2+2\cdot5=23+2\cdot5
\)
y en cuanto a los cuadrados sucesivos, son \( (5+1)(5+1)
\), \( (5+2)(5+2)
\)... que van teniendo restos equivalentes a 1,4,9,16,25, 36, 49... módulo 5 (o sea, son 1,4,4,1,0,1,4,4,1,0... es decir, en el fondo, en cuanto a modularidad, son siempre los “mismos” cuadrados \( 1^{2},2^{2},2^{2},1^{2},0^{2}
\))...
...
Pero con este tipo de observaciones Fermat no pudo haber estado del todo seguro de si se cumplía o no; podía creer mucho en que se cumplía, pero difícilmente podría haber tenido una prueba rigurosa. Porque, por ejemplo, \( 5\cdot5
\) también es casi igual que \( (5,000...)\cdot(5,000...)
\) con una parte decimal tan pequeña como se quiera; la diferencia es tremendamente sutil, ¿cómo distinguir aquí algo tan pequeño como se quiera de cero?
En los casos de n=3 y n=4 conozco la demostración, pero en el caso general... por mí mismo, realmente, sinceramente confieso que no sé si es verdad o mentira el teorema, simplemente confío en la seriedad de los matemáticos, y a partir de eso doy por hecho que es cierto.
Saludos.
