[mongar]

\( x^n \) se puede descomponer mediante recubrimientos de manera única en suma de potencias de exponente menor, hasta \( x^3 \), \( x^{n-1} \) es una superficie de \( x^n \), si \( x^a.y^b \) es una superficie de \( x^n \) entonces \( a+b = n-1 \), así hasta \( x^2 \), veamos un ejemplo: consideremos \( 3^3 = 3^2 + 2(2^2 +1) + 2.2^2; 4^3 = 4^2 + 2(3^2+2^2+1) +2(3^2+1 \) sumando miembro a miembro, tenemos que \( 3^2+4^2, \) ha de tener solución entera, luego podemos establecer una condición necesaria para que \( 3^3+4^3 \) tenga solución entera es que la tenga \( 3^2+4^2 \) pero es condición suficiente? Si desarrollamos \( 5^3 = 5^2+ 2(4^2 + 3^2 + 2^2 + 1) +  2(4^2 +2^2) \), comparando vemos que no. Se puede afirmar extendiendo a \( 3^n + 4^n \) no tiene solución entera?

[mongar]

Os voy a proponer un ejemplo para demostrar  que \( x^7+ y^7 = z^7 \), no tiene soluciones enteras, para eso utilizamos el polinomio general basado en los recubrimientos para  \( x^7 \),  así :

\(  x^7 - 7px^6-21((m+p)^2-m^2)-35((m+p)^3-m^3)-35((m+p)^4-m^4)-21((m+p)^5-m^5)-7((m+p)^6-m^6)-((m+p)^7-m^7) =  0 \),

Sabemos que si la ecuación tiene soluciones enteras, también las tiene Fermat para \( n = 7 \), que se puede extender a cualquier exponente siempre que \( n \) sea primo. Vamos a reducir módulo \( 7 \), obtenemos \( x^7 - p ^7 \), los residuos: \( 0, 1,2,3,4,5,6 \), comprobamos que el polinomio reducido tiene soluciones enteras en \( \mathbb Z_7 \), las clases \( 0+7t, 1+7t, 2+7t, 3+7t,....,6+7t \), todos los números para cualquier valor de \( m \), \( p \) de \( (m+p)^7 - m^7 \), se encuentran en alguna de las clases, ahora construimos el polinomio:

  \( x^7 - a7x^6 -,b7x^5 - c7x^4 - d7x^3 - e7x^2 - f7x - (0+7t,  1+7t,....., 6+7t) \),

 es decir buscamos los valores enteros de \( a, b, c, d, e, f, \) que hacen que que el polinomio para \( 0+7t, 1+7t,...., 6+7t \), tenga soluciones enteras, los valores de \( a, b, ...,f \), han de ser máximos, puesto que para pasar de un recubrimiento al siguiente el anterior ha de estar lleno( completo). Para \( 0+7t \), no existen soluciones enteras, para \( 1+7t, a = b=c =....,f =t \), comparamos con los coeficientes del polinomio de igual grado , resolvemos las ecuaciones resultantes y comprobamos que no hay valores de \( m, p \), que satisfaga las ecuaciones, el mismo procedimiento lo hacemos para \( 2+7t \), los valores de :

\( a= t \), \( b = 2t \), \( c = 1+4t \), \( d = t \) \( e = 2t \), \( f = 1+4t \)

para \( 3+7t \), \( a = t \), \( b= 1+3t \), \( c = 2t \), \( d = 2+6t \), \( e = 1+4t \), \( f = 2+5t \),

para \( 4+7t \), \( a = t \), \( b= 2+4t, \) \( c =1+2t \), \( d = t \), \( e = 2+4t \), \( f = 1+2t \)

para \( 5+7t \), \( a = t \), \( b = 3+5t \), \( c = 2+4t \), \( d = 4+6t \), \( e = 1+2t, \) \( f = 2+3t \),

para \( 6+7t \), \( a = t \), \( b = 5+6t \), \( c = t \), \( d = 9+4t \), \( e = t \), \( f = 5+6t \),

una vez comprobadas todas las ecuaciones resultantes se constata de la no existencia de valores enteros para \( m, p \), de lo que  se deduce que \( x^7 + y^7 = z^7 \) no tiene soluciones enteras.

 Los cálculos si queréis los podéis hacer vosotros. Saludos.

[mongar]

Vamos a aplicar este procedimiento para \( n=2 \), que se puede extender a cualquier exponente.

Partimos de \( x^2-2tx-(1+2t), \) vamos a calcular el número total de polinomios que tienen como solución entera  \( 1+2t \);  así: \( x^2- 2(t-q)x-(1+2t) (1+2q)  \) con \( 0\leq q\leq t-1 \).

El número de polinomios es \( t \), el polinomio de recubrimientos para \( n=2 \), \( x^2-2px-(2mp+p^2) \).

Comparando miembro a  miembro, \( (t-q)= p \), entonces , \( 1+2q \) ha de ser múltiplo de \( (t-q) \); observamos que existe \( t \) y \( q \) que satisfacen la condición. Es decir existen infinitas soluciones.

 Con este método se obtienen de manera natural para una \( x \) determinada, sus ternas pitagóricas asociadas sean primitivas o no.

 Un ejemplo: sea \( x^2-2(4-q)x-9(1+2q) \), para \( t=4 \), \( q \) puede tomar los valores \( 0, 1, 2, 3 \):

- para \( q=0 \), tenemos \( x^2-8x-9 \),\(  p =4 \), no.

- para \( q=1 \), \( x^2-6x-27 \), \( p=3 \), \( 3 \) múltiplo de \( 3 \), si, entonces \( p= 3 \), m se obtiene resolviendo \( 2mp+p^2= 27 \), \( m= 3 \), la terna es \( (9, 12, 15) \)-

- para \( q=2 \),  \( x^2-4x-45 \), \( p=2 \), no.

- para \( q=3 \), \( x^2-2x-63 \), \( p=1 \), resolvemos \( m \), \( m=31 \), la terna \( (9, 40, 41). \)

Para cualquier exponente se procede del mismo modo y aparecen los polinomios ciclotómicos también de manera natural.

Saludos.

[mongar]

Vamos a considerar el caso \( n=3 \).

 Establecemos una condición, un coeficiente es mayor que el anterior y menor que el posterior.

 El número total de polinomios es \( t(t+1)/2 \). 

 Así : \( x^3-3(t-q)x^2-3(t+a(1+3t))x-(1+3(q-a )(1+3t)) \) con \( 0\leq a\leq (q-1) \).
 Comparamos miembros miembro con el polinomio de recubrimientos: \( x^3-3px^2-3(2mp+p^2)x-(3m^2p+3mp^2+p^3) \), \( a \) ha de ser entero.
 Haciendo los cálculos \( a \) es de la forma: \( 3(t-2(m+q))-2/9 \), se constata la imposibilidad que \( a \) sea entero, se puede afirmar que para \( n = 3 \), no existen soluciones enteras.

 Una vez separada la parte entera nos queda: \( x^2+(1+3q)x+(1+3(q-a)(1+3t)) \), las soluciones  conforman la sucesión finita de enteros ciclotómicos, dándole valores a \( t, q, a \). Cuando \( q=0 \), obtenemos: \( x^2+x+ \)1, sus raíces son términos de la sucesión.

[mongar]

y^3 -3(m+p)y^2 - (p^2 - m^2) -(m^3 + p^3)

[mongar]

Continuo, ecuación obtenida de x^3 +y^3 = z^3, con x,y,z,m,p, enteros positivos.los valores de m, p, pueden variar, si p =0, m = (m+p), m = 0, p= (m+p), el valor del paréntesis ha de permanecer invariable. El número de ecuaciones así obtenidas es m+p+1, si (m+p) par, (m+p) si impar. Las soluciones de las distintas ecuaciones están entre (m+p) para m=0, y (m+p)( 1+2^1/3 + 2^2/3), para p=0. Quedan por tanto como posibles soluciones 2(m+p), 3(m+p). Comprobamos utilizando D = d.c +R. El cociente nos aporta información dado que a su vez tiene dos soluciones reales, lo que entra en contradicción al haber supuesto que la ecuación solo puede tener una solución real, entera o no. Vamos a considerar R= 0,             -(m+p)((m+p)^2 - 3mp + 2(3(p^2 - m^2) + 2(m+p)^2), nos daría m=0, p=0, o, p = m(-7+_93^1/2)/ 22, una  sería la solución trivial, la otra no entera. Para 3(m+p), obtendríamos m=0, p=0, p=m(1+_321^1/2)/20, no entero para cualquier valor entero de m. Se puede concluir que z no es entero. Este método se puede aplicar a otros exponentes.

[Luis Fuentes]

Hola

A partir de aquí hizo un incursión el este hilo el usuario Oenitmj, repitiendo las mismas cosas sin sentido que ha ido escribiendo en las diversas propuestas de otros usuarios sobre el Teorema de Fermat. Como lo único que hacen es aportar ruido sobre la intención inicial de cada uno de estos usuarios, esas intervenciones han sido movidas al hijo de Oenitmj.

 En lo que sigue mongar puede continuar si así lo desea exponiendo sus ideas en este hilo. Y también si quiere debatiendo con Oenitmj en el otro.

Saludos.

[mongar]

Gracias. Saludos.

[mongar]

Voy a poner un ejemplo para ver cómo se disponen los cálculos y  de paso comprobar si hay algún error de concepto, de fundamento o troncal, en el razonamiento, veamos: (m+p) = 4, el valor del paréntesis no varía para una misma familia de curvas. Así : m= 4, p = 0, la ecuación obtenida es: y^3 - 12y^2 + 48y - 64 = 0, (1). m = 3, p = 1, y^3 - 12y^2 +24y - 28 = 0, (2), m = 2, p = 2, y^3 - 12y^2 - 16 = 0,  (3),  m = 1, p = 3, y^3 - 12y^2 - 24y - 28 = 0,( 4), m =0, p = 4, y^3 - 12y^2 - 48y - 64 = 0, (5), la ecuación (1), tiene como solución 4, la ecuación (5) tiene como solución 4(1+2^1/3 + 2^2/3), las soluciones de las demás ecuaciones son mayores que 4 y menores que 4(1+ 2^1/3 + 2^2/3), luego son 8, o  12, dado que el término independiente es múltiplo de 4  y también los coeficientes de los términos, luego 4 divide a y, se comprueba que no son soluciones de las ecuaciones, se puede concluir que las ecuaciones no tienen soluciones enteras.