Os voy a proponer un ejemplo para demostrar que \( x^7+ y^7 = z^7 \), no tiene soluciones enteras, para eso utilizamos el polinomio general basado en los recubrimientos para \( x^7 \), así :
\( x^7 - 7px^6-21((m+p)^2-m^2)-35((m+p)^3-m^3)-35((m+p)^4-m^4)-21((m+p)^5-m^5)-7((m+p)^6-m^6)-((m+p)^7-m^7) = 0 \),
Sabemos que si la ecuación tiene soluciones enteras, también las tiene Fermat para \( n = 7 \), que se puede extender a cualquier exponente siempre que \( n \) sea primo. Vamos a reducir módulo \( 7 \), obtenemos \( x^7 - p ^7 \), los residuos: \( 0, 1,2,3,4,5,6 \), comprobamos que el polinomio reducido tiene soluciones enteras en \( \mathbb Z_7 \), las clases \( 0+7t, 1+7t, 2+7t, 3+7t,....,6+7t \), todos los números para cualquier valor de \( m \), \( p \) de \( (m+p)^7 - m^7 \), se encuentran en alguna de las clases, ahora construimos el polinomio:
\( x^7 - a7x^6 -,b7x^5 - c7x^4 - d7x^3 - e7x^2 - f7x - (0+7t, 1+7t,....., 6+7t) \),
es decir buscamos los valores enteros de \( a, b, c, d, e, f, \) que hacen que que el polinomio para \( 0+7t, 1+7t,...., 6+7t \), tenga soluciones enteras, los valores de \( a, b, ...,f \), han de ser máximos, puesto que para pasar de un recubrimiento al siguiente el anterior ha de estar lleno( completo). Para \( 0+7t \), no existen soluciones enteras, para \( 1+7t, a = b=c =....,f =t \), comparamos con los coeficientes del polinomio de igual grado , resolvemos las ecuaciones resultantes y comprobamos que no hay valores de \( m, p \), que satisfaga las ecuaciones, el mismo procedimiento lo hacemos para \( 2+7t \), los valores de :
\( a= t \), \( b = 2t \), \( c = 1+4t \), \( d = t \) \( e = 2t \), \( f = 1+4t \)
para \( 3+7t \), \( a = t \), \( b= 1+3t \), \( c = 2t \), \( d = 2+6t \), \( e = 1+4t \), \( f = 2+5t \),
para \( 4+7t \), \( a = t \), \( b= 2+4t, \) \( c =1+2t \), \( d = t \), \( e = 2+4t \), \( f = 1+2t \)
para \( 5+7t \), \( a = t \), \( b = 3+5t \), \( c = 2+4t \), \( d = 4+6t \), \( e = 1+2t, \) \( f = 2+3t \),
para \( 6+7t \), \( a = t \), \( b = 5+6t \), \( c = t \), \( d = 9+4t \), \( e = t \), \( f = 5+6t \),
una vez comprobadas todas las ecuaciones resultantes se constata de la no existencia de valores enteros para \( m, p \), de lo que se deduce que \( x^7 + y^7 = z^7 \) no tiene soluciones enteras.
Los cálculos si queréis los podéis hacer vosotros. Saludos.