Hola,
Supongamos que \( x^3+y^3+z^3=0 \) , para \( x,y,z \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( x,y,z \) , entonces \( x^3+y^3+z^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Porque \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) . De esta manera, establezcamos que \( 3 \) divide á \( x \) .
Luego: \( -z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy) \) . Los dos factores de la derecha son coprimos salvo por \( 3 \) , si \( 3 \) divide á \( x+y \) -y-, por tanto, á \( z \) . Pero no es el caso. Además \( (x+y)^2-3xy=(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) , para \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) , la raíz primitiva tercera de la unidad. Y : \( x+y\omega\,\,,\,\,x+y\omega^2 \) son coprimos, porque su suma es \( 2x+y\omega(1+\omega) \) y su diferencia \( y\omega(1-\omega) \) ; siendo \( \omega \) -y- \( \omega+1 \) unidades en \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Y: \( 1-\omega \) es el asociado de un primo que divide á \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) -y- que, por tanto, divide á \( x \) . En conclusión, para \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) , tenemos que estos 3 factores son coprimos entre sí y por tanto terceras potencias en \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Tales que: \( -z^3=\epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3\epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3\epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3 \) , para \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) , \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) -y- \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) . Siendo cada pareja \( a_i,b_i \) de números enteros y coprimos entre sí -y- \( \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 \) unidades de \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Las unidades en \( \mathbb{Z}(\omega) \) son: \( \pm 1\,\,,\,\,\pm\omega \) -y- \( \pm\omega^2 \) , para \( \omega^3=1 \) .
(1) Analicemos: \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) . Tenemos por una parte que \( (a_1+b_1\omega)^3=a_1^3+3a_1^2b_1\omega+3a_1b_1^2\omega^2+b_1^3\omega^3\,=\,a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega \) .
Para \( \epsilon_1=\pm 1 \) , tendremos pues \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=x+y \) . Como \( x+y \) representa a un entero usual, no puede ser igual a ningún término \( \omega \) a la izquierda de la ecuación. Por tanto \( a_1-b_1=0 \) -ó- \( b_1-a_1=0 \) \( \Rightarrow \) \( a_1=b_1 \) -y- \( \pm (a_1+b_1\omega)^3=(\pm a_1)^3 \) -ó- \( (\pm b_1)^3 \) .
Para \( \epsilon_1=\pm\omega \) , tenemos \( \pm\omega(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) \( \Rightarrow \) \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega^2+y\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=-x-y-(x+y)\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=-x-y-(x+y)\omega \) . Pero en este caso, al agrupar por coeficientes, \( 3 \) dividiría á \( x+y \) , lo que no es posible porque \( 3 \) divide á \( x \) -y- ésta es coprimo con \( y \) .
Para \( \epsilon_1=\pm\omega^2 \) , tenemos \( \pm\omega^2(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) \( \Rightarrow \) \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega+y\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm(a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=(x+y)\omega \) . Pero por lo mismo que antes, \( 3 \) dividiría á \( x+y \) . Luego tenemos que concluir que \( \epsilon_1 \) sólo puede ser \( \pm 1 \) .
(2) Analicemos: \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) .
Para \( \epsilon_2=\pm 1 \) , tenemos \( \pm(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=x+y\omega \) . Pero entonces \( 3 \) dividiría á \( y \) , lo que sabemos que no es.
Para \( \epsilon_2=\pm\omega \) , tenemos \( \pm\omega(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega^2+y\omega^3 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=y-x-x\omega \) . Lo que sí es coherente porque \( 3 \) divide á \( x \) .
Para \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) , tenemos \( \pm\omega^2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega+y\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=-y+(x-y)\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=-y+(x-y)\omega \) . Lo que no puede ser porque \( 3 \) no divide á \( x-y \) . Luego está claro que \( \epsilon_2=\pm\omega \) .
(3) Analicemos: \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) .
Para \( \epsilon_3=\pm 1 \) , tenemos \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x-y-y\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=x-y-y\omega \) . Pero entonces \( 3 \) dividiría á \( y \) , lo que sabemos que no es.
Para \( \epsilon_3=\pm\omega \) , tenemos \( \pm\omega(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega^2+y\omega^4 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=-x+(y-x)\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=-x+(y-x)\omega \) . Pero no puede ser porque \( 3 \) no divide á \( y-x \) .
Para \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) , tenemos \( \pm\omega^2(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega+y\omega^3 \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \) \( \Rightarrow \) \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=y+x\omega \) . Lo que sí es posible porque \( 3 \) divide á \( x \) . De esta manera: \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) .
Tenemos pues que \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)\,=\,\pm\omega\cdot\omega^2\cdot a_1^3\cdot (a_2+b_2\omega)^3 \cdot (a_3+b_3\omega)^3 \) . Y : \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega^2+b_2a_3\omega+b_2b_3\omega^3) \) \( \Rightarrow \) \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) . Por tanto, para que la igualdad tenga sentido y no haya términos \( \omega \) a la derecha: \( b_2a_3-a_2b_3=0 \) -ó- \( a_2b_3-b_2a_3=0 \) -y- \( a_2b_3=b_2a_3 \) . Pero como \( a_2 \) es coprimo con \( b_2 \) -y- \( b_3 \) es coprimo con \( a_3 \) ; entonces no queda otra que \( a_2=a_3 \) -y- que \( b_2=b_3 \) .
Así, como por (2) y por (3) tenemos, por una parte, que \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \) . Y por otra, que \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \) . Ahora ocurrirá que: \( \pm (y-x-x\omega)=\pm(y+x\omega) \) .
Y si fuera \( y-x-x\omega=y+x\omega \) -ó- \( -(y-x-x\omega)=-(y+x\omega) \) ; tendríamos \( 2\omega=-1 \) . Lo que es absurdo. En cambio, si fuera \( -(y-x-x\omega)=y+x\omega \) -ó- \( y-x-x\omega=-(y+x\omega) \) ; tendríamos que \( x=2y \) . Otro sinsentido.
Luego debemos concluir que para que no se dé \( a_2b_3=b_2a_3 \) , entonces \( z \) debe ser de una forma \( c+d\omega \) , para \( c,d \) enteros, de manera que la igualdad \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) tenga sentido sin tener que anular la componente \( \omega \) de la derecha. Pero entonces \( z \) no puede ser racional.
Un saludo,
He editado unos cuantos errores más que había en los subíndices (ver siguientes respuestas)
