Autor Tema: Ejercicio haz de plano II

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

16 Diciembre, 2019, 02:18 am
Leído 714 veces

enano

  • Junior
  • Mensajes: 32
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola compañeros, me ayudan con esta actividad? Saludos

Dados los planos \( x+3y-z+5=0 \) y \( 5x-y+z=0 \) considere la familia de planos que determinan y hallar si existe el plano que pertenece a la familia que resulte perpendicular a \( 2x+y+z-9=0 \)

Avances:

\( H:m\cdot{(x+3y-z+5)}+5x-y+z=0 \)
\( (m+5)\cdot{x}+(3m-1)\cdot{y}+(-m+1)\cdot{z}+(5m+0)=0 \)

para que sean perpendiculares tengo que ver que el producto escalar entre la normal del haz de plano y la normal el tercer plano sea igual a cero entones...

\( (m+5, 3m-1, -m+1)\cdot{(2,1,1)}=0 \)
\( 2m+10+3m-1-m+1=0 \)
\( 4m+10=0 \)
\( m=-\displaystyle\frac{5}{2} \)

luego multiplique m por el primer plano para obtener un plano perpendicular al tercero:

\( -\displaystyle\frac{5x}{2}-\displaystyle\frac{15y}{2}+\displaystyle\frac{5z}{2}-\displaystyle\frac{25}{2}=0 \)

pero cuando lo quiero verificar en geogebra me encuentro con que no son perpendiculares....


16 Diciembre, 2019, 02:52 am
Respuesta #1

Abdulai

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,366
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
........
\( m=-\displaystyle\frac{5}{2} \)
Hasta acá OK


Citar
luego multiplique m por el primer plano para obtener un plano perpendicular al tercero:

\( -\displaystyle\frac{5x}{2}-\displaystyle\frac{15y}{2}+\displaystyle\frac{5z}{2}-\displaystyle\frac{25}{2}=0 \)

Revisá los cálculos, el plano querda:  \( \frac{5}{2}x - \frac{17}{2}y + \frac{7}{2}z - \frac{25}{2}=0 \)

16 Diciembre, 2019, 03:01 am
Respuesta #2

enano

  • Junior
  • Mensajes: 32
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Abdulai, no se que estas multiplicando para obtener esos números, yo estoy con esto

\( -\displaystyle\frac{5}{2}\cdot{(x+3y-z+5)} \)

16 Diciembre, 2019, 03:12 am
Respuesta #3

Abdulai

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,366
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Abdulai, no se que estas multiplicando para obtener esos números, yo estoy con esto

\( -\displaystyle\frac{5}{2}\cdot{(x+3y-z+5)} \)

Es que te falta el otro plano, lo usaste para calcular \( m \)

Es:  \( -\displaystyle\frac{5}{2}\cdot{(x+3y-z+5)} + (5x-y+z) \)

16 Diciembre, 2019, 03:17 am
Respuesta #4

enano

  • Junior
  • Mensajes: 32
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
comprendo, entonces debo sustituir m en la ecuación del haz de plano.

Gracias por tu ayuda!!!

16 Diciembre, 2019, 03:46 am
Respuesta #5

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,168
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Otra forma.

El vector normal al plano 1 es \( \vec{n_1}=(1,3,-1) \), el vector normal al plano 2 es \( \vec{n_2}=(5,-1,1) \)

La intersección de ambos planos es una recta cuyo vector dirección \( \vec{v} \) ha de ser perpendicular tanto a \( \vec{n_1} \) como a \( \vec{n_2} \), ya que la recta esta incluida por ambos planos. En consecuencia :

\( \vec{v}=\vec{n_1} \ X \ \vec{n_2}=(2,-6,-16) \)

El vector dirección no es único se puede tomar, como vector dirección \( \vec{v}=(1,-3,-8) \)

El plano que piden, plano 3, esta determinado por \( \vec{v} \) y otro vector \( \vec{u}=(a,b,c) \) tal que necesariamente \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente independientes.

El plano 3 tendrá como vector normal \( \vec{n_3}=\vec{v} \ X \vec{u} \)

Para que este plano (plano 3) sea perpendicular al plano 4 caracterizado por \( 2x+y+z-9=0 \), se ha de cumplir que \( \vec{n_4}\cdot{\vec{n_3}}=0\Rightarrow{(2,1,1)\cdot{\vec{v} \ X \vec{u}}=0} \)

La expresión de la izquierda es un producto mixto \( \vec{n_4}\cdot{\vec{v} \ X \vec{u}} \), se la puede poner como un determinante :

\( det \ \begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{1}&{-3}&{-8}\\{a}&{b}&{c}\end{bmatrix}=0\Rightarrow{-5a+17b-7c=0} \)

En consecuencia los vectores u que junto con el vector v determinan planos perpendiculares al plano 4, se pueden poner (poniendo c en función de a y b) de la siguiente forma :
\( \vec{u}=a(1,0,\displaystyle\frac{-5}{7})+b(0,1,\displaystyle\frac{17}{7}) \)

El vector u necesariamente ha de ser linealmente independiente del vector v, PERO :

\( det \ \begin{bmatrix}{1}&{0}&{\displaystyle\frac{-5}{7}}\\{0}&{1}&{\displaystyle\frac{17}{7}}\\{1}&{-3}&{-8}\end{bmatrix}=0 \)

¿Qué se concluye sobre la existencia? Respondiendo la pregunta se puede hallar el plano pedido considerando los u adecuados. Esto ya es sencillo, simplemente hay que considerar un punto de la recta intersección, v y u.

Saludos