Hola
Otra forma.
El vector normal al plano 1 es \( \vec{n_1}=(1,3,-1) \), el vector normal al plano 2 es \( \vec{n_2}=(5,-1,1) \)
La intersección de ambos planos es una recta cuyo vector dirección \( \vec{v} \) ha de ser perpendicular tanto a \( \vec{n_1} \) como a \( \vec{n_2} \), ya que la recta esta incluida por ambos planos. En consecuencia :
\( \vec{v}=\vec{n_1} \ X \ \vec{n_2}=(2,-6,-16) \)
El vector dirección no es único se puede tomar, como vector dirección \( \vec{v}=(1,-3,-8) \)
El plano que piden, plano 3, esta determinado por \( \vec{v} \) y otro vector \( \vec{u}=(a,b,c) \) tal que necesariamente \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son linealmente independientes.
El plano 3 tendrá como vector normal \( \vec{n_3}=\vec{v} \ X \vec{u} \)
Para que este plano (plano 3) sea perpendicular al plano 4 caracterizado por \( 2x+y+z-9=0 \), se ha de cumplir que \( \vec{n_4}\cdot{\vec{n_3}}=0\Rightarrow{(2,1,1)\cdot{\vec{v} \ X \vec{u}}=0} \)
La expresión de la izquierda es un producto mixto \( \vec{n_4}\cdot{\vec{v} \ X \vec{u}} \), se la puede poner como un determinante :
\( det \ \begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{1}&{-3}&{-8}\\{a}&{b}&{c}\end{bmatrix}=0\Rightarrow{-5a+17b-7c=0} \)
En consecuencia los vectores u que junto con el vector v determinan planos perpendiculares al plano 4, se pueden poner (poniendo c en función de a y b) de la siguiente forma :
\( \vec{u}=a(1,0,\displaystyle\frac{-5}{7})+b(0,1,\displaystyle\frac{17}{7}) \)
El vector u necesariamente ha de ser linealmente independiente del vector v, PERO :
\( det \ \begin{bmatrix}{1}&{0}&{\displaystyle\frac{-5}{7}}\\{0}&{1}&{\displaystyle\frac{17}{7}}\\{1}&{-3}&{-8}\end{bmatrix}=0 \)
¿Qué se concluye sobre la existencia? Respondiendo la pregunta se puede hallar el plano pedido considerando los u adecuados. Esto ya es sencillo, simplemente hay que considerar un punto de la recta intersección, v y u.
Saludos
