[alucard]

Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente, entonces

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{\dfrac{f(n)}{n+5}} \)

es convergente, justifique su respuesta.

Lo que intente: Como

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,

entonces \(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(n)}=0 \)

Por el criterio de leibnitz

1) \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{f(n)}{n+5}}=0
 \)

2) \( f(n)>f(n+1)\Rightarrow{\dfrac{f(n)}{n+5}>\dfrac{f(n+1)}{n+6}} \)

Desde ahí , nó se como seguir  , alguna sugerencia ?

[ingmarov]

Hola

Hazlo por comparación, la primera serie es mayor que la nueva.

Saludos

[alucard]

Primero gracias  , segundo , porque comparacion? no tengo que probar que la serie es decreciente por ser una alternada ?

[ingmarov]

Primero gracias  , segundo , porque comparacion? no tengo que probar que la serie es decreciente por ser una alternada ?

Es que si la serie mayor converge, también lo hará cualquier otra que sea menor a esta.

[alucard]

gracias ,  y como puedo probar que la mayor converge ?

[ingmarov]

gracias ,  y como puedo probar que la mayor converge ?

Es un dato dado, es un hecho.

...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...

[alucard]

claro pero

...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...

f(n) es la que converge pero yo tengo \( \dfrac{f(n)}{n+5} \)

[ingmarov]

claro pero

...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...

f(n) es la que converge pero yo tengo \( \dfrac{f(n)}{n+5} \)

Sí, nota que

\( f(n)>\dfrac{f(n)}{n+5} \)

[alucard]

ahhhh gracias 

[Bobby Fischer]

Hola,

Si la serie de f(n) fuera de términos positivos, la conclusión sería inmediata. Pero no dicen que lo sea.
Entonces veo un problema. Si f(n) fuera \( (-1)^n\cdot \dfrac{1}{n} \), f(n) es convergente. Ahora multiplícala por \( (-1)^n \), quedaría la sucesión \( \dfrac{1}{n} \), que es divergente.

Para este caso en particular, se tiene que f(n), de expresión desconocida, converge. \( \dfrac{1}{n+5} \) es divergente, pero si se probara que, por ser f(n) convergente, entonces \( \dfrac{f(n)}{n+5} \) debe ser menor que la harmónica (lo cual creo que es un resultado conocido), entonces \( \dfrac{f(n)}{n+5} \) es convergente. Es claro que \( (-1)^n\dfrac{f(n)}{n+5} \) cumple la condición necesaria de convergencia, pues el límite de la sucesión en el infinito da cero. La cosa esta en asegurar que no puede ocurrir lo de arriba, que al multiplicar una sucesión convergente por \( (-1)^n \), no resulta una divergente.

Parece que la afirmación del enunciado puede ser cierta, porque no se me ocurre ningún contraejemplo.

Saludos.