Autor Tema: Convergercia de una serie

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Diciembre, 2019, 02:09 am
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alucard

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Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente, entonces

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{\dfrac{f(n)}{n+5}} \)

es convergente, justifique su respuesta.

Lo que intente: Como

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,

entonces \(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(n)}=0 \)

Por el criterio de leibnitz

1) \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{f(n)}{n+5}}=0
 \)

2) \( f(n)>f(n+1)\Rightarrow{\dfrac{f(n)}{n+5}>\dfrac{f(n+1)}{n+6}} \)

Desde ahí , nó se como seguir  , alguna sugerencia ?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

14 Diciembre, 2019, 02:11 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Hazlo por comparación, la primera serie es mayor que la nueva.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Diciembre, 2019, 02:21 am
Respuesta #2

alucard

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Primero gracias  , segundo , porque comparacion? no tengo que probar que la serie es decreciente por ser una alternada ?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

14 Diciembre, 2019, 02:59 am
Respuesta #3

ingmarov

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Primero gracias  , segundo , porque comparacion? no tengo que probar que la serie es decreciente por ser una alternada ?


Es que si la serie mayor converge, también lo hará cualquier otra que sea menor a esta.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Diciembre, 2019, 03:05 am
Respuesta #4

alucard

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gracias ,  y como puedo probar que la mayor converge ?
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14 Diciembre, 2019, 03:08 am
Respuesta #5

ingmarov

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gracias ,  y como puedo probar que la mayor converge ?

Es un dato dado, es un hecho.


...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Diciembre, 2019, 03:24 am
Respuesta #6

alucard

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claro pero




...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...

f(n) es la que converge pero yo tengo \( \dfrac{f(n)}{n+5} \)
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

14 Diciembre, 2019, 03:33 am
Respuesta #7

ingmarov

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claro pero




...

Si la \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) es convergente,
...

f(n) es la que converge pero yo tengo \( \dfrac{f(n)}{n+5} \)

Sí, nota que

\( f(n)>\dfrac{f(n)}{n+5} \)
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Diciembre, 2019, 03:42 am
Respuesta #8

alucard

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14 Diciembre, 2019, 11:10 am
Respuesta #9

Bobby Fischer

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Hola,

Si la serie de f(n) fuera de términos positivos, la conclusión sería inmediata. Pero no dicen que lo sea.
Entonces veo un problema. Si f(n) fuera \( (-1)^n\cdot \dfrac{1}{n} \), f(n) es convergente. Ahora multiplícala por \( (-1)^n \), quedaría la sucesión \( \dfrac{1}{n} \), que es divergente.

Para este caso en particular, se tiene que f(n), de expresión desconocida, converge. \( \dfrac{1}{n+5} \) es divergente, pero si se probara que, por ser f(n) convergente, entonces \( \dfrac{f(n)}{n+5} \) debe ser menor que la harmónica (lo cual creo que es un resultado conocido), entonces \( \dfrac{f(n)}{n+5} \) es convergente. Es claro que \( (-1)^n\dfrac{f(n)}{n+5} \) cumple la condición necesaria de convergencia, pues el límite de la sucesión en el infinito da cero. La cosa esta en asegurar que no puede ocurrir lo de arriba, que al multiplicar una sucesión convergente por \( (-1)^n \), no resulta una divergente.

Parece que la afirmación del enunciado puede ser cierta, porque no se me ocurre ningún contraejemplo.

Saludos.