Autor Tema: Recta con dos orígenes

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Diciembre, 2019, 09:25 pm
Leído 368 veces

conchivgr

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 285
  • País: de
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola.
Sea la recta con dos orígenes,  es decir, el espacio cociente en \( \mathbb{R} \) que se obtiene al identificar \( (t,0) \) con \( (t,1) \) si \( t\neq{0} \), cogiendo dos copias de la recta real \( \mathbb{R}x\left\{{0}\right\} \) y \( \mathbb{R}x\left\{{1}\right\} \).
Hace unos meses,  ya me mostrasteis que este espacio no es de Hausdoff, por cierto.
Me he topado con el ejemplo en wikipedia (lo siento) y dice qué este espacio no es arcoconexo  pero si es conexo por caminos.
Me da,  que lo que quiere decir es que es conexo, pero no es conexo por caminos,  aunque define camino y arco de forma distinta.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Arco_conexo
Es esto cierto?.
Además,  por lo que tengo entendido,  seguramente este equivocada,  arcoconexo y conexo por caminos es lo mismo.
Podrían explicarme esto?.
Besos.

13 Diciembre, 2019, 10:24 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,905
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
A mí me parece bien explicado en el enlace que has puesto.
Primero hay que distinguir camino de arco. Un camino en un espacio topológico \( X \) es cualquier aplicación continua \( f:I \to X \), mientras que un arco es un camino que además es un homeomorfismo en su imagen (esto es, \( f:I \to f(I) \) es homeomorfismo).

Entonces se dice que un espacio es conexo por caminos si existe un camino entre dos puntos cualesquiera del espacio, y arco conexo si existe un arco entre dos puntos cualesquiera del espacio. Obviamente, como todo arco es en particular un camino, cualquier espacio arco conexo es también conexo por caminos.

Por otro lado, todo espacio conexo por caminos que además sea Hausdorff es arco conexo (esto no es inmediato), por tanto en los espacios Hausdorff los dos conceptos coinciden.

Finalmente, la recta con dos orígenes es un espacio conexo por caminos que no es arco conexo. Lo primero es fácil de ver, lo único que puede no ser totalmente obvio es que hay un camino que une los dos orígenes, pero considera por ejemplo el camino que une un origen con el punto \( 1 \), seguido del camino que une el punto \( 1 \) con el otro origen.
Para lo segundo, hay que ver que no existe ningún arco que una los dos orígenes. De hecho, no hay ningún camino inyectivo que una los dos orígenes. Esto tampoco es muy difícil de ver: comprueba primero que cualquier camino que una los dos orígenes debe pasar por un punto \( p \) distinto de los dos orígenes, y luego comprueba que el camino toma dos veces todos los valores en \( (0,p) \) (o \( (p,0) \)). La intuición es clara: para unir los dos orígenes debes ir hacia un punto distinto del origen y después retroceder hacia el otro origen, cosa que hace que el camino no sea inyectivo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Diciembre, 2019, 12:16 am
Respuesta #2

conchivgr

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 285
  • País: de
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola.
Muchas gracias por la respuesta, entendido.
Besos.