Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.

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12 Diciembre, 2019, 08:51 pm
Respuesta #30

Luis Fuentes

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Hola

Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.

Todo número entero “n”, con \( mcd(n,6)=1
  \) se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica \( 2x+3y=n \) tiene soluciones x,y.

En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
  \)

\( 2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
  \)

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
  \)

\( 2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
  \)

Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, \( (2a+3b)
  \), tendremos que la suma de sus cubos será

\( 2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
  \)

Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo \( mcd(n,3)=1
  \) y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones

1ª \( ({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}=(2n)^{2}+n^{2}m+n(3m)^{2}
  \)

2ª \( {\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}+ab^{2}+b(3b)^{2}=(2n)^{2}+nm^{2}+m(3m)^{2}
  \)

donde de momento se podría empezar por estarlas y se va el cuadrado (2n) y se puede sacar factores comunes.

Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?

Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma \( 2a+3b \) no es única. Por ejemplo:

\( 28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8 \)

Saludos.

12 Diciembre, 2019, 08:59 pm
Respuesta #31

feriva

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Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma \( 2a+3b \) no es única. Por ejemplo:

\( 28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8 \)

Saludos.

Ah sí, hay que contar con el 2 y el 3, es verdad

De todas formas, aparte de eso, ya intuyo que te parece que no va a servir para mucho :)

Muchas gracias.

13 Diciembre, 2019, 11:07 am
Respuesta #32

geómetracat

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También me he entretenido en mirar, un poco por encima, el uso de los complejos en la demostración (de la de Euler).

En cuanto a lo puramente operativo, si no me estoy perdiendo algo, el uso de las cuentas con complejos que se utiliza ahí es tan elemental o más que muchas otras cosas que yo considero bastante elementales: resolver ecuaciones diofánticas lineales (con Euclides o la función phi) problemas del Teorema chino del resto... por no entrar en algunas un poquitín menos elementales, y menos relacionadas, de álgebra lineal y otras pocas de análisis (hablo de cosas que, modestamente, yo comprendo y sé operar, aunque sea equivocándome y aunque se me olviden si no las practico). Es cierto que la explicación está vestida con letras “w” y algunas cosas “raras”, palabras, formalismos... pero la impresión que me da, sin haber mirado más, es que, si consigo quitarle del todo el disfraz, me va a resultar básico o al menos conocido. Por esto precisamente, tengo que intentar seguir más detenidamente la demostración para ver si capto bien del todo qué misterioso poder tienen esas simples operaciones con complejos que no puedan tener otras para demostrar eso; porque, de momento, sigo intuyendo que se tiene que poder demostrar de otra manera.

Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Diciembre, 2019, 03:43 pm
Respuesta #33

feriva

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Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".

Hola, Geómetracat.

Sí, entiendo lo que quieres decir.

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma \( a^2+3b^2 \), entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que \( a+b\sqrt{-3} \) es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.
Aunque, seguramente, cuando me aprenda bien la demostración de Euler, ya no me apetecerá inventar otra cosa.

Muchas gracias.

Saludos.     

 

13 Diciembre, 2019, 07:36 pm
Respuesta #34

feriva

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Hola.

EDITADO

Me ha salido una cosa rara que no sé si entiendo bien.

Siendo “c” y “e” impares, podemos decir que para cuales sean los impares distintos y elegidos al azar (“c” y “e”) existen enteros de distinta paridad “a” y “b”, tales que

\( a^{2}-b^{2}=n
  \) siendo “n” impar y donde

1) \( a=\dfrac{c+e}{2}
  \)

2) \( b=\dfrac{c-e}{2}
  \)

Esto, ya se sabe, es muy conocido, se usa en el método de factorización de Fermat, por ejemplo. Y, efectivamente, se pueden elegir al azar los impares para que “a” y “b” sean de distinta paridad:

...

Tenemos que

\( a=\dfrac{c+e}{2}
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}
  \)

Elijamos impares \( c=2x+1
  \) y \( e=2y+1
  \) donde se pueden dar valores arbitrarios a “x” e “y” desde cero para obtener los impares que se quiera.

Entonces

\( a=\dfrac{c+e}{2}=\dfrac{2x+2y+2}{2}\Rightarrow a=x+y+1
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x{\color{red}-}y
  \)

Donde “a” y “b” resultan de distinta paridad



...

Despejando de las ecuaciones 1) y 2) tenemos que

\( c=a+b
  \) y \( e=a-b
  \)

como se detalla en el spoiler

Spoiler

\( 2a=c+e
  \)

\( 2b=c-e
  \)

\( c=2a-e
  \)

\( c=2b+e
  \)

\( 2c=2a+2b
  \)

\( c=a+b
  \)

\( e=2a-c\Rightarrow e=2a-{\color{blue}(a+b)}\Rightarrow
  \)

\( e=a-b
  \)

[cerrar]

Ahora sumemos los cubos \( c^{3}+e^{3}
  \):

\( c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
  \)

\( a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
  \)

\( 2a(a^{2}+3b^{2})
  \)

Spoiler
Pero teníamos que \( b=a+1
  \), por lo que \( a-b=a-(a+1)=-1
  \) ???

...

¿En qué me he equivocado?

No puede ser, porque entiendo que querría decir que aquí

\( a=\dfrac{c+e}{2}\Rightarrow2a=c+e
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}\Rightarrow2b=c-e
  \)

“c” y “e” no pueden ser impares para que salga esa igualdad, serían pares y, en consecuencia, no coprimos.

En otro caso (siempre que se hubiera dado el milagro de no equivocarme) ¿cómo se interpretaría?
[cerrar]
Saludos.

13 Diciembre, 2019, 07:49 pm
Respuesta #35

geómetracat

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Te has equivocado aquí:

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
  \)

Es \( b=x-y \).

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.

Normal, la prueba de Fermat para \( n=4 \) es (bastante) más sencilla que para \( n=3 \).

Citar
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

Si realmente quieres dar una prueba sin complejos a mí me parece el camino más razonable: entender bien la prueba que usa complejos e intentar reformular la misma prueba pero sin complejos.

Citar
De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma \( a^2+3b^2 \), entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que \( a+b\sqrt{-3} \) es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.

Bueno, la verdad es que no lo miré con mucho detalle, simplemente vi que argentinator decía que seguía la demostración de ahí.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Diciembre, 2019, 08:11 pm
Respuesta #36

feriva

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Te has equivocado aquí:

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
  \)

Muchísimas gracias, Geómetracat; qué susto me había llevado.

En cuanto a lo otro, sí, me la estoy mirando y viendo cosas; voy apuntando en un papel, haciendo cuentas... y como me equivoco, tengo que volver a empezar a cada rato... pero seguiré hasta que la asimile.

Saludos.

15 Diciembre, 2019, 01:51 pm
Respuesta #37

Fernando Moreno

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Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

15 Diciembre, 2019, 05:32 pm
Respuesta #38

feriva

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Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,

No te preocupes. Yo estoy preparando una "explicación" somera sobre lo que veo que es la prueba de Euler; y a la vez intentando una demostración paralela.

Saludos.

17 Diciembre, 2019, 10:26 am
Respuesta #39

feriva

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Bueno, ya he estado mirando bastantes cosas sobre la prueba de Euler y me he puesto en marcha en mi intento de llegar a lo mismo con un enfoque que use sólo números enteros (no obstante, si al final veo que lo que uso lo complica demasiado, usaré raíces o incluso complejos; y en este último caso pues no habrá nada distinto, pero presentaré también mi enfoque por ver si estoy entendiendo bien y mis razonamientos son validos).

...

Según lo que ponía una de mis últimas respuestas, la expresión \( 2a(a^{2}+3b^{2})
  \) se puede representar para los enteros impares “c” y “e” que sean; también negativos si se quiere considerar. Por tanto, con esto, cualquiera puede estar seguro de que si se demuestra para esa igualdad, se demuestra para todos los casos.

En spoiler va un resumen de las consideraciones elementales necesarias para la de demostración (que todo ufetero ya conoce).

Spoiler

Entonces, toda suma de cubos impares se puede representar así

\( (a+b)^{3}+(a-b)^{3}
   \).

El resultado de esa suma existe siempre, lo que ocurre es que nunca puede ser otro cubo. Por ejemplo, existen \( (50+15)^{3}+(50-15)^{3}
   \), pues existen los impares 65 y 35 y sus respectivos cubos

\( 65^{3}=5^{3}\cdot13^{3}
   \)

\( 35^{3}=5^{3}\cdot7^{3}
  \)

y, en consecuencia, existe la suma de esos dos cubos.

\( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=2^{2}\cdot5^{4}\cdot127
   \)

Pero, como vemos, no se descompone en factores primos elevados al cubo y, por tanto, no es otro cubo.

Pero supongamos que esa suma se descompusiera en tres primos elevados al cubo \( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=P_{1}^{3}\cdot P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \).

En este caso, como los dos cubos de la suma tienen en común el factor 5 (elevado al cubo, claro) uno de esos primos tendrá que ser también 5, es decir

\( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=5{}^{3}\cdot P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \)

de lo contrario es imposible; pues la suma de dos múltiplos de 5 es otro múltiplo de 5 (y lo mismo para cualquier otro primo o compuesto).

Esto hace que podamos dividir a ambos lados entre \( 5^3 \) y nos siga quedando una suma de cubos cuyo resultado es otro cubo \( 13^{3}+7^{3}=P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \).

Si existe una suma de cubos en la que los tres números x,y,z se descomponen en primos, entonces, necesariamente, existe otra suma u otras sumas de cubos.

[cerrar]

Empezamos por pensar en la composición de factores de esta expresión \( (a^{2}+3b^{2})
   \) a la que llega Euler.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma \( 6n\pm1
   \); es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Si consideramos lo que se conoce como “primer caso” de la demostración del teorema de Fermat, suponemos primeramente que los factores \( 2a
   \) y \( a^{2}+3b^{2}
   \) no tienen ningún componente primo en común.

Entonces, aquí, \( (a^{2}+3b^{2})
   \), el número “a” no puede ser múltiplo de 3, pues la suma sería un múltiplo de 3 y lo sería también el otro factor, “2a”.

Además, como ya se ha visto, “a” y “b” son de paridad distinta, por lo que la suma, o sea, el factor del paréntesis, es impar. Por tanto, según estamos considerando, no es múltiplo 6.

Luego en ese caso, está compuesto únicamente por factores de la forma \( 6n\pm1
   \).

Ahora bien, no quiere decir que necesariamente los primos que componen a \( (a^{2}+3b^{2})
   \) sean de esa forma o solamente de esa forma; porque \( (6n-1)^{6}
   \), por ejemplo, también nos va a dar un número así \( 6n+1 \).

En consecuencia, podemos escribir, por ejemplo

\( a^{2}+3b^{2}=1+6n=1+3(2n)
  \)

Ahora, para conseguir un “a” cuadrado ahí que no sea 1, tendremos que quitar una cierta cantidad a \( 3(2n)
  \) de forma que siga siendo un múltiplo de 3 y además, también, tiene que deje de ser par, para así obtener “b” cuadrado impar. Pues, obviamente, lo que tenemos que tenemos en ese segundo sumando es \( 2k+2k+2k
  \); si le restáramos un número no divisible entre 3, quedaría un no múltiplo de 3.

Entonces hay que quitarle un múltiplo de 3 impar. De forma que

\( b^{2}=3(2n)-3m=3(2n-m)=6n-3m
  \)

\( a^{2}=3m+1
  \)

E igual conclusión se obtiene considerando que es de la forma \( 6n-1
  \); “b” será múltiplo de 3 si los factores son coprimos (aun en caso de que no me equivoque, no sé si usaré esto).

Y éste ha sido el primer punto a considerar, donde, pese a lo que sea ha deducido al final, quizá lo más importante es ver que en lo sucesivo hay que estar pendientes en cuanto a la posibilidad del signo.

...

Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números \( c=a+b
   \) y \( e=a-b
  \).

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

Entonces, ocurre:

\( \begin{array}{cc}
c=a+b; & e=a-b\\
f=a+b; & g=a-b
\end{array}
  \)

y de ahí

\( c+e=2a
   \)

\( c+g=2a
   \)

o sea

\( g=e
  \)

y análogamente

\( g+f=g+c
   \)

\( f=c
   \).

No olvidemos las letras que uso para la igualdad

\( c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=2a(a^{2}+3b^{2})
   \).

Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto \( c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
  \), donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Del mismo modo, podemos representar una equivalencia en forma de producto

\( a=k_{1}\cdot k_{2}
  \)

\( b=t_{1}\cdot t_{2}
  \)

Y podemos aprovechar que ya sabemos que “b” es múltiplo de 3 (si me hubiera equivocado en la deducción, pues no podré)

\( a=k_{1}\cdot k_{2}
  \)

\( b=3\cdot t_{2}
  \)

Donde si cualquiera de ellos es primo, entonces, algún “k” será 1.

...
Y éste es de momento el material para intentarlo.
Lo dejo aquí por hoy, para que no sea demasiado pesado corregirme, que ya he escrito mucho.

Saludos.