Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.

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10 Diciembre, 2019, 10:22 pm
Respuesta #10

feriva

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Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Sí, pero es sólo una parte de la demostración. Previamente a eso, creo recordar, hay que demostrar que los dos factores son coprimos; según mis letras, los factores son \( (2a)
  \) y \( (a^{2}+3b^{2})
  \) (con a y b, en vez de p y q, que usa ahí) y, si son copirmos, como el producto de ellos es \( z^{3}
  \), cada factor es en hipótesis un cubo.

Citar
Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos?

En cuanto a anillos, pues sí me gusta, de vez en vez miro cosas y, así, he aprendido un poco algún rudimento sobre \( Z_{n}
  \), cosas básicas y prácticas (de estar en el foro más que nada, las he aprendido sin esfuerzo). La teoría con muchos símbolos y eso... me cuesta un poco de esfuerzo seguirla, en parte porque no tengo la vista muy allá y en parte por una cuestión de retentiva y concentración; no la tenía de joven, imagina ahora (bueno, ya se ve cada vez que intervengo, no hace falta imaginar nada). Pero tampoco descarto que un día me dé por ponerme a estudiar el anillo \( Z[i] \) o algo de ese estilo; yo soy muy bohemio, cualquier cosa es posible (excepto que deje de equivocarme).

Saludos.


10 Diciembre, 2019, 10:42 pm
Respuesta #11

Fernando Moreno

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Hola. Yo sólo puedo contar mi caso. Mis motivaciones son en primer lugar las 3 que pone Luis: Que puedo entender el enunciado, que sólo conozco matemáticas básicas y el mito de la demostración maravillosa de Fermat (esto último lo de menos). Y añado 2 más. Me gustaría saber, en un sentido profundo, por qué es imposible que habiendo infinitos números enteros e infinitas posibilidades de relacionarlos en una suma con exponentes, no tiene la ecuación solución. De esto tengo la mitad (o más) del camino recorrido. Y por último, que mi modo de aprender algo es intentando resolver un problema (difícil) concreto. A mí me ponen delante un manual de teoría de anillos y no soy capaz de terminarlo. Necesito una motivación concreta y fuerte. ¿Para resolver qué?..

Dicho esto, tengo que matizarlo. Las motivaciones, en general, son muy poco razonables. No se me escapa que todas y cada una de las que he puesto son muy poco o nada defendibles y no pueden ser un modelo de nada. Lo ideal para aprender no es nada de lo que he puesto. Lo sé. Pero es lo que me causa adherencia a las matemáticas. Puedo darle muchas vueltas a una cosa, como en este tema y sin embargo siempre tengo la sensación de avanzar algo, poco, pero algo. El día que perciba con claridad que el avance es 0 lo dejaré. Espero geómetracat haber satisfecho algo tu curiosidad. Algo que mereces sobradamente. Un cordial saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

11 Diciembre, 2019, 12:03 am
Respuesta #12

feriva

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Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html



¡Síiii! es verdad, lo he estado mirando y parece que sí; nunca me había fijado en ese enlace porque estaba en inglés y me daba pereza seguir lo que decía. Mañana lo miraré más despacio, que hay varias demostraciones asociadas.

Muchas gracias, Geómetrac.

11 Diciembre, 2019, 01:31 am
Respuesta #13

geómetracat

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He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado. También he estado mirando un poco de literatura y parece que yo estaba equivocado: no he encontrado ningún libro donde no usen \( \sqrt{-3} \) en algún momento. El argumento elemental que recordaba haber visto alguna vez me parece que era el que dan en el libro de Edwards "Fermat's Last Theorem: A genetic introduction to algebraic number theory", que sí que usa complejos, aunque me da la sensación que se debería poder reescribir la misma demostración sin usar \( \sqrt{-3} \) explícitamente.

Fernando Moreno, gracias por compartir tus motivaciones. Precisamente, una de las cosas que decía es que para mí (y hago énfasis en que esto es algo personal) aporta mucha más comprensión en sentido profundo una demostración del estilo de la de Wiles, que una que se dedique a hacer juegos con naturales. Pero insisto es que esto es algo personal, y para otra gente ocurrirá lo contrario.
Por otro lado, estoy bastante de acuerdo con lo demás. En particular que una buena manera de aprender es enfrentarse a un problema difícil, y que una motivación concreta es muy buena para aprender teoría. Pero es que precisamente buena parte de la teoría de anillos (y la teoría algebraica de números) se desarrollaron para atacar el teorema de Fermat, así que qué mejor motivación para aprender que la misma que tenían los que desarrollaron la teoría.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Diciembre, 2019, 08:50 am
Respuesta #14

feriva

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Hola, geómetracat

He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado.


Efectivamente. Y ese tipo de paso me ha recordado que tenía escrita una cosa para preguntar sobre la demostración de la fórmula de Cardano; hay algo parecido. Después se me olvidó, ahora no sé dónde lo puse.

Muchas gracias.


11 Diciembre, 2019, 12:03 pm
Respuesta #15

feriva

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Hola a todos.

Encuentro en el blog que enlazó Geómetracat que Euler demuestra lo siguiente:

El producto de los números de la forma \( (a^{2}+3b^{2})
  \) tienen la misma forma:

\( (a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
  \)

\( a^{2}(x^{2}+3y^{2})+3b^{2}(x^{2}+3y^{2})=
  \)

\( a^{2}x^{2}+3a^{2}y^{2}+3b^{2}x^{2}+9b^{2}y^{2}=
  \)

\( a^{2}x^{2}-6abxy+9b^{2}y^{2}+3a^{2}y^{2}+6abxy+3b^{2}x^{2}=
  \)

\( (ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
  \)

(estas letras que uso son aparte de las demás, es sólo para mostrar esto).

A partir de aquí, ya con las letras con signficado a parte.

Teníamos:

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
  \)

Elevando al cuadrado a ambos lados existen enteros x,y tales que

\( (2a(a^{2}+3b^{2}))^{2}=(z^{3})^{2}\Rightarrow
  \)

\( 4a^{2}(x^{2}+3y^{2})=(z^{3})^{2}
  \)

Entonces \( (x^{2}+3y^{2})
  \) es un cuadrado al dividir entre \( 4a^{2}
  \) la ecuación.

Seguidamente, necesito expresarlo así

\( x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y^{2}
  \).

Y haciendo \( {\color{blue}2y=p}
  \), queda

\( x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+py
  \)

También es un cuadrado, obviamente, esto

\( (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy
  \)

y podemos escribirlo igualmente en función de p:

\( (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+px
  \)

Entonces

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
  \)

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x+y)
  \)

Ahora, sacando factor común (x+y)

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot[(x+y)-p]
  \)

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot(x+y-p)
  \)

como \( {\color{blue}p=2y}
  \), tendremos

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)\left(x-y\right)
  \)

\( x^{2}+3y^{2}=x^{2}-y^{2}
  \)

\( 3y^{2}=-y^{2}
  \)

\( 3=-1
  \)

(perdón por adelantado en caso de que haya algún error; prometo que lo he repasado varias veces y no veo nada).

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 12:28 pm
Respuesta #16

geómetracat

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El fallo está aquí:


\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
  \)

\( x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x{\color{red} +}y)
  \)

El signo que está en rojo debería ser un menos en vez de un más.

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que \( x^2+3y^2 \) es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, \( 4=1^3+3\cdot 1^3 \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Diciembre, 2019, 12:38 pm
Respuesta #17

Luis Fuentes

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Hola

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que \( x^2+3y^2 \) es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, \( 4=1^3+3\cdot 1^3 \)).

Peor aun, porque en lo que hace ni siquiera usa de manera efectiva que \( x^2+3y^2 \) sea un cuadrado. Simplemente usa unas identidades algebraicas, hasta que comete un error.
 
feriva: el tipo de reflexión que apunta geómetracat es importante para evitar perder claramente el tiempo en cuentas que no van a llegar a nada. Es bueno pararse a pensar que hipótesis estamos usando en cada argumento y si es esperable que sólo con esas hipótesis se pueda llegar a contradicción alguna. Llevo revisadas ya muchos intentos de demostración del UTF en el foro; diría que al menos el 50% de ellas se caerían sólo con esa  observación, sin necesidad de encontrar el error de cuentas concreto.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 12:56 pm
Respuesta #18

feriva

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Muchas gracias, Geómetracat y Luis.

Ciertamente no he usado que fuera un cuadrado; de hecho me di cuenta de eso, pero no veía el error del signo.

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado \( x^{2}+y^{2}+px
  \), y esto también \( x^{2}+y^{2}+py
  \). Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

Muchas gracias otra vez (lo que más me preocupa son los errores tontos que llevo cometiendo hace tiempo, más que los errores en la estrategia; y que miro y miro y no los veo. No es ya en estos intentos, es en cosas normales y antes no pasaba tanto pese a que siempre haya sido despistado).

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 01:11 pm
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado \( x^{2}+y^{2}+px
  \), y esto también \( x^{2}+y^{2}+py
  \). Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

En concreto es para \( p=2y \), con lo cual \( x^2+y^2+\color{red}p\color{black}x=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2 \) siempre es un cuadrado y lo que estás diciendo es que "tiene una pinta muy difícil" que existan enteros distintos \( x \) e \( y \) tales que \( x^2+y^2+2y^2=x^2+3y^2 \) sea un cuadrado.

Y lo curioso es que previamente tu mismo demostraste que eso es muy fácil y tu mismo escribiste una forma de obtener ejemplos (no sólo, eso sino que en tu desarrollo \( x^2+3y^2 \).... ¡aparece precisamente como un cuadrado que podrías haber concretado sin más que dar valores a las letras!).

Probaste que el producto de dos números de la forma \( a^2+3b^2 \) vuelve a tener esa "estructura". Bueno pues el cuadrado de uno de tales números tiene esa estructura. En particular:

\( (a^2+3b^2)^2=(a^2-3b^2)^2+3(2ab)^2 \)

Así que ya tienes una colección de ejemplos de eso que te tenía una pinta tan difícil:

\( x=|a^2-3b^2| \)
\( y=2ab \)
\( p=2y=4ab \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias manooooh)