Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.

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20 Diciembre, 2019, 10:21 pm
Respuesta #60

Luis Fuentes

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Hola

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: \( (p-1)¡+1=kp \) . Luego:  \( (p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p \) .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  \( 6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,. \)  son coprimos con " 7 ". Luego:  \( 6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,. \)  \( + \)  \( 1 \)  es coprimo respecto de  \( (p-1)¡ \) .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  \( (p-1)¡ \) . 

No se si he entendido bien lo que marco en rojo; pero \( (p-1)!+1 \) puede tener perfectamente factores primos mayores que \( p \).

Hola feriva. Ok, si insistes..

\( \left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n) \)  \( \Rightarrow{} \)

\( (n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( (n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( -(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)[/tex]

\( -(n-2)¡\equiv\,-1 \)  mod \( n \)

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

No esta muy claro como repites...

Saludos.

20 Diciembre, 2019, 10:35 pm
Respuesta #61

Fernando Moreno

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Hola,

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: \( (p-1)¡+1=kp \) . Luego:  \( (p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p \) .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  \( 6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,. \)  son coprimos con " 7 ". Luego:  \( 6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,. \)  \( + \)  \( 1 \)  es coprimo respecto de  \( (p-1)¡ \) .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  \( (p-1)¡ \) . 

No se si he entendido bien lo que marco en rojo; pero \( (p-1)!+1 \) puede tener perfectamente factores primos mayores que \( p \)

Supongamos que:  \( 11k=6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,. \)  \( + \)  \( 1 \) .. Ah es cierto. A ver si puedo arreglarlo. Me voy a tomar unos minutos

A ver:

Tendríamos el siguiente contrasentido: Como  \( 11k=(7-1)¡+1 \) ,  entonces:  \( 11k\equiv\,(7-1)¡+1 \) mod \( 6,5,4.. \)   \( \wedge \) :  \( 11k\equiv\,1 \) mod \( 6 \) ,  \( 11k\equiv\,1 \) mod \( 5 \) ,  etc.  no?   está mal

Citar
Hola feriva. Ok, si insistes..

\( \left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n) \)  \( \Rightarrow{} \)

\( (n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( (n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( -(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)[/tex]

\( -(n-2)¡\equiv\,-1 \)  mod \( n \)

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

No esta muy claro como repites...

Saludos.

Cierto, ya he hecho la corrección editando la entrada basándome en la demostración que he encontrado en Gaussianos
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20 Diciembre, 2019, 11:05 pm
Respuesta #62

feriva

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Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por \( n-1 \) ,  tendré:  \( -(n-1)¡\equiv\,1 \)  mod \( n \)   \( \wedge \)   \( (n-1)¡\equiv\,-1 \)  mod \( n \) .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)

Pero qué compicación es ésa. Es simplmente esto

\( \left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
  \)

\( n|-(n)\Rightarrow
  \)

\( n|\left((n-1)!+1\right)
  \), con \( \left(mcd\,(n-1)!+1,\, n\right)=1
  \).

\( n=s(n-1)\Rightarrow n\in\mathbb{P}
  \).

Y ya está, “n” está encajonada; ya has visto que no la divide ninguno de los detrás hasta (n-1) incluido; es el primer número después de (n-1), luego no lo van a dividir los más grande que él... blanco y en botella :D

Saludos.

20 Diciembre, 2019, 11:09 pm
Respuesta #63

Fernando Moreno

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Hola, estudiaré lo que dices, pero

Pero qué compicación es ésa

¿Es una complicación multiplicar en ambos lados por  \( n-1 \)  ??   ::)
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20 Diciembre, 2019, 11:10 pm
Respuesta #64

Luis Fuentes

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Hola

A ver:

Tendríamos el siguiente contrasentido: Como  \( 11k=(7-1)¡+1 \) ,  entonces:  \( 11k\equiv\,(7-1)¡+1 \) mod \( 6,5,4.. \)   \( \wedge \) :  \( 11k\equiv\,1 \) mod \( 6 \) ,  \( 11k\equiv\,1 \) mod \( 5 \) ,  etc.  no? 

No es un contrasentido. Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que \( p \) en la descomposición de \( (p-1)!+1 \):

\( (7-1)!+1=7\cdot 103 \)

\( \left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n) \)  \( \Rightarrow{} \)

\( (n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( (n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( -(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0 \)  mod \( n \)

\( -(n-2)¡\equiv\,-1 \)  mod \( n \)

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por \( n-1 \) ,  tendré:  \( -(n-1)¡\equiv\,1 \)  mod \( n \)   \( \wedge \)   \( (n-1)¡\equiv\,-1 \)  mod \( n \) .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)

Pero no entiendo lo que pretendes ahí. La igualad:

\( -(n-2)!\equiv\,-1 \)  mod \( n \)

La has obtenido presuponiendo que \( (n-1)!\equiv -1 \)  mod \( n \). Entonces lo que haces simplemente es volver al principio.

No has concluido nada.

Pero qué compicación es ésa. Es simplmente esto

\( \left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
  \)

\( n|-(n)\Rightarrow
  \)

\( n|\left((n-1)!+1\right)
  \), con \( \left(mcd\,(n-1)!+1,\, n\right)=1
  \).

\( n=s(n-1)\Rightarrow n\in\mathbb{P}
  \).

Y ya está, “n” está encajonada; ya has visto que no la divide ninguno de los detrás hasta (n-1) incluido; es el primer número después de (n-1), luego no lo van a dividir los más grande que él... blanco y en botella :D

Independientemente de que tienes varias erratas ahí (y una forma rara de concluir), feriva. Lo que tu estás probando es la parte fácil, es decir, que si \( (n-1)!=-1 \) mod  \( n \), entonces \( n \) es primo. Sospecho que los intentos de Fernando Moreno van más bien encaminados hacia la otra implicación que es ligeramente más difícil.

Saludos.

20 Diciembre, 2019, 11:25 pm
Respuesta #65

Fernando Moreno

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Hola,


No es un contrasentido. Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que \( p \) en la descomposición de \( (p-1)!+1 \)

Pues no lo entiendo. Resulta que:  \( 11\cdot{5}\equiv\,1 \) mod \( 6 \) , y ¿no es un contrasentido que sea congruente también con 1 Módulo 5?Perdón, es que está mal. Me he precipitado

Citar
Pero no entiendo lo que pretendes ahí. La igualad:

\( -(n-2)!\equiv\,-1 \)  mod \( n \)

La has obtenido presuponiendo que \( (n-1)!\equiv -1 \)  mod \( n \). Entonces lo que haces simplemente es volver al principio.

No has concluido nada

Pues supongo que sí. Me limité a seguir la entrada de feriva, este hilo se ha vuelto muy loco jajaja


Hola

T Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que \( p \) en la descomposición de \( (p-1)!+1 \):

\( (7-1)!+1=7\cdot 103 \)

No la descartaba, pensé buscar otro fallo distinto, está claro que ese no era.
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20 Diciembre, 2019, 11:38 pm
Respuesta #66

feriva

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Independientemente de que tienes varias erratas ahí (y una forma rara de concluir), feriva. Lo que tu estás probando es la parte fácil, es decir, que si \( (n-1)!=-1 \) mod  \( n \), entonces \( n \) es primo. Sospecho que los intentos de Fernando Moreno van más bien encaminados hacia la otra implicación que es ligeramente más difícil.

Saludos.

Ah, sí, sí, tienes razón, estaba yo despistado.

Gracias, Luis.

20 Diciembre, 2019, 11:55 pm
Respuesta #67

feriva

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La otra implicación.

Ah, no, demasiado fácil y corto me parecía

Spoiler
Supongamos que “n” es compuesto. Entonces sus divisores propios pertenecen al intervalo [1,\, n-1]
 .

Por el TFA, existe una factorización única en primos (de menor valor que “n”) tales que

\( n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot...p_{i}^{k_{i}}
  \); \( p_{1},p_{2},...p_{i}\in[1,\, n-1]
  \)

Por tanto, “n” divide a \( (n-1)!
  \), por lo que no divide a \( (n-1)!+1
  \).

[cerrar]

Saludos.

21 Diciembre, 2019, 12:39 am
Respuesta #68

feriva

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¿Es una complicación multiplicar en ambos lados por  \( n-1 \)  ??   ::)

Opino que es una complicación hacer cuentas independientemente de que yo me hubiera saltado la demostración previa.

En Gaussianos se demuestra así que no puede ser compuesto:

Supone que es compuesto, entonces algunos de sus divisores propios están aquí \( (1,\, n-1)
  \), “n” tiene divisores ahí, y digamos que tomamos un divisor “d” cualquiera, común mayor que 1 (que, obviamente, divide a \( (n-1)!
  \) y a “n” por hipótesis)

Si ahora dividiera también a \( (n-1)!+1
  \), pues ocurriría esto

\( \dfrac{(n-1)!}{d}+\dfrac{1}{d}
  \) con \( \dfrac{(n-1)!}{d}
  \) entero, pero \( \dfrac{1}{d}<1
  \), no entero. Y así no puede ser entero. Con lo que “n” no puede ser compuesto, no existen esos divisores “d”; de ese tamaño, digo, de los otros no se sabe.

Entonces ya, tiene que ser compuesto por primos mayores o ser primo; obviamente, sus factores no están en el factorial, y así, todos, desde 1 hasta n-1, son coprimos y, por tanto, no divide a “n” ningún número menor que él.

Como los mayores que “n”, o sea, n+1, n+2... no lo dividen tampoco,  por ser mayores, es un número al que no divide nadie, salvo 1 y sí mismo. Ese argumento que decía sigue siendo bueno, faltaba lo otro, que no me acordaba de que no lo había demostrado.

Saludos.

21 Diciembre, 2019, 01:10 am
Respuesta #69

geómetracat

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Madre mía, la que he liado con el teorema de Wilson.  ;D
De momento no he visto ninguna demostración correcta, aunque ya habéis mecionado la de gaussianos, que es básicamente en lo que yo estaba pensando. Aunque feriva ha hablado básicamente de la implicación fácil. La implicación hacia el otro lado es más interesante.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)