Autor Tema: Polarización de varilla metálica

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08 Diciembre, 2019, 07:29 am
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sedeort

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Hola. El tema de la placa metálica infinita y "aislada" fue apasionante y la resolución de Richard aún sigue coleando.
En ese tema propuse otro problema en el que estoy interesado y que tampoco encuentro la solución (porque me atranco en lo que podría llamar una  "ecuación integral" que no sé resolver).
Pasamos de la infinitud bidimensional a la discreción en una.


Calcular la distribución lineal de carga \( \lambda (x) \) en una varilla metálica de longitud \( L \), neutra, aislada y alineada con un campo eléctrico externo \( E \) constante en módulo y sentido (por ejemplo, el creado en el interior de un condensador).
Si lo veis necesario podéis considerar que la carga eléctrica total, de cada signo, que contiene la varilla es \( Q \).

El sistema de referencia es arbitrario. Por ejemplo, colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la varilla de longitud \( L \) y el eje \( X \) coincidiendo con ella.
El campo eléctrico externo es constante y le damos la forma \( \vec{E}=E_0\hat{i} \) , con \( E_0>0 \). (campo y varilla están alineados).
En estas condiciones, en la varilla se inducirá una polarización, los fluidos de carga  se moverán y en cada punto aparecerá una densidad lineal de carga \( \lambda (x) \). Esta función es la que pretendemos determinar.

El planteamiento físico que propongo se basa en suponer (¿posiblemente sea erróneo?) que a lo largo de la varilla se generará un campo eléctrico que llamo "interno", \( E_i \), debido a la polarización, que intenta contrarrestar al externo. Estos dos campos deberán ser de igual módulo pero diferente sentido (¿?).

Resolución:
El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto a \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x)  dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)
Y otra condición es que la carga total de la varilla sea nula. O sea:
\( \displaystyle\int_{0}^{L}\lambda (x) dx =0 \)

¿Cómo saco de aquí la expresión analítica de la función \( \lambda(x) \)? Será necesario aplicar métodos numéricos?

Vosotros diréis cómo haríais esta "ecuación integral" o si hay que cambiar el planteamiento...
Un saludo.


08 Diciembre, 2019, 11:11 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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Hola. El tema de la placa metálica infinita y "aislada" fue apasionante y la resolución de Richard aún sigue coleando.
Hola sedeort, sigue planteando allí las dudas que te queden, por favor no mezclemos los hilos

En ese tema propuse otro problema en el que estoy interesado y que tampoco encuentro la solución (porque me atranco en lo que podría llamar una  "ecuación integral" que no sé resolver).
Plantea ahora esas integrales, por favor  no esperes 20 mensajes para incorporarlas al hilo, no esperes todo hecho, es mejor que veamos de entrada la duda completa, si viene de un concepto físico o matemático.


Pasamos de la infinitud bidimensional a la discreción en una.

Supongo que es un desliz, la varilla inducida tiene una distribución de cargas continua no discreta, la palabra discreción allí esta mal empleada.

Calcular la distribución lineal de carga \( \lambda (x) \) en una varilla metálica de longitud \( L \), neutra, aislada y alineada con un campo eléctrico externo \( E \) constante en módulo y sentido (por ejemplo, el creado en el interior de un condensador).

Pues incorpora entonces también un grafico de como dispondrias la varilla respecto del campo, a que se refiere con alinear? Siembra mas dudas que certezas, pero todo es explicable

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Diciembre, 2019, 12:01 pm
Respuesta #2

sedeort

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Richard, no pretendo que me lo den todo hecho. De hecho, cuando planteo algo en el foro ya me lo he currado en lo que yo puedo abarcar y además lo hago porque considero que puede ser interesante para el resto de foristas (como lo ha sido para mí).
Hice un comentario sobre lo del plano porque está reciente y relacionado con esto. No planteé ninguna duda sobre aquel asunto aquí.
Cuando puse varilla discreta me refería a que tiene una longitud finita, Por supuesto, la distribución de carga es continua.
Perdonadme si no incorporo gráficos. No sé cómo se hacen (bastante tengo con el LaTeX, jeje). Procuraré describir con palabras a continuación.

P.D. Paso esta descripción al primer mensaje para que los visitantes tengan la info desde el principio.



08 Diciembre, 2019, 01:30 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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Hola , has contestado con lo que me temía ..jajaja por eso te pedí más precisiones

Colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la varilla y el eje \( +X \) hacia el otro extremo.
La varilla metálica tiene longitud \( L \) (si queréis, \( \vec{L}=L\hat{i} \))
El campo eléctrico externo es constante y tiene la forma \( \vec{E}=E_0\hat{i} \) (campo y varilla están alineados).
En estas condiciones la varilla se polarizará con una densidad lineal de carga \( \lambda (x) \). Esta función es la que pretendemos determinar.


Hay infinitas formas de poner la varilla en medio de dos placas de un capacitor, puede ser paralelo a las placas (1) en cualquier angulo de rotación, perpendicular situación (2) la rotación es indistinta, y estar con un cierto angulo (3) con cualquier rotación.
las situaciones 1 y 2 son de equilibrio si se centra la posición de la varilla, la 3 es inestable, hay un momento creado por la fuerza eléctrica que lo lleva a la situación mas estable , la 2
 pero lo que tu describes es la situación 2

Lo que describes con el campo y la varillas paralelos al eje \( \vec i \) es la situación 2

Dónde cree que se inducen la cargas en la varilla? en toda la linea del conductor o solo en sus extremos?





Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Diciembre, 2019, 01:48 pm
Respuesta #4

sedeort

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El campo eléctrico externo tiene la misma dirección que la varilla (están alineados). Situación 2 en tus gráficos.
La distribución lineal de carga es una función continua. Esa función es la que busco. Es fácil entender que tendrá un valor negativo en el extremo O. Será nula en el punto central y positiva en el otro extremo L. Debe ser simétrica respecto a punto central.


08 Diciembre, 2019, 02:35 pm
Respuesta #5

Richard R Richard

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El campo eléctrico externo tiene la misma dirección que la varilla (están alineados). Situación 2 en tus gráficos.
La distribución lineal de carga es una función continua, que es lo que busco. Tiene un valor negativo en el origen. Es nula en el punto central. Y es positiva en el otro extremo.
Esta función debe ser simétrica respecto a punto central.



Estas seguro???, porque para mi fisicamente eso no sucede, si fuera de ese modo el campo eléctrico en el interior de la varilla no sería nulo, había corriente eléctrica moviendo las cargas, que llegaría a un estado estable, ubicandolas las positivas del lado de la placa cargada negativamente y viceversa...




Tu distribución es respetando el cero en el extremo de la varilla más cercano a la placa positiva.

\( \lambda=\left\{\begin{matrix}
-Q & x=0 \\
0 & 0<x<l \\
+Q & x=l
\end{matrix}\right. \)

Cuanto vale Q, de momento no me lo acuerdo, se lo dejo al que pueda, si no lo busco o quizá ya sepas como calcularlo.



Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Diciembre, 2019, 03:23 pm
Respuesta #6

sedeort

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Simétrica respecto a un punto: me refiero a que es "impar" respecto a ese punto medio, positiva a un lado, negativa al otro. (Como la función seno respecto al punto (0, 0)).
El campo eléctrico externo es uniforme y así se mantiene (no se deforma). Sólo me preocupa la distribución final de carga en la varilla.
La polarización que pones es discreta, no me vale. Yo me refiero a la continua (densidad lineal de carga).

08 Diciembre, 2019, 03:39 pm
Respuesta #7

Richard R Richard

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Tu quieres que la densidad lineal de carga varíe de un punto respecto al contiguo en la linea del conductor,  si fuera así un punto tiene mayor potencial que el contiguo, lo que crea un campo eléctrico en entre esos puntos del conductor y como lo supones metálico este tiene las carga libres, entonces  las moverá para anular el campo(crea corriente), luego dinámicamente llevara  a la densidad de carga a permanecer constante  entre extremos donde se acumula la carga.

No estarás pensando todo como si fuera un material aislante cargado...algo no cierra  en como ves las cosas físicamente.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Diciembre, 2019, 03:45 pm
Respuesta #8

sedeort

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Si fuera aislante las cargas no se moverían.
Es conductor. Los fluidos de carga positiva y negativa se mueven inicialmente respondiendo al campo externo pero a su vez se irá creando un campo interno en dicha polarización. La distribución de carga en toda la varilla en el equilibrio final es lo que pido.

08 Diciembre, 2019, 04:37 pm
Respuesta #9

Richard R Richard

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Yo creo haberte dado como es la distribución, veremos si alguien lo ve de otra manera , lo comparte y aprendo si me equivoque.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)